LA CONTROVERSIA DE LA EXISTENCIA DE LOS LOGARITMOS DE LOS NÚMEROS NEGATIVOS

LA CONTROVERSIA DE LA EXISTENCIA DE LOS LOGARITMOS DE LOS NÚMEROS NEGATIVOS

Ing. Luis Manfredo Reyes

Seguramente a todos nosotros, nos enseñaron en la secundaria e incluso en la universidad, la letanía que dice “no existen los logaritmos para los números negativos y cero”.

Sin embargo, a lo largo de la historia, desde que se descubrieron los logaritmos, ha existido la inquietud de saber si existen o no los logaritmos para los números negativos.

Algunos de los más destacados matemáticos de la historia han discutido el asunto, llegando a interesantes planteamientos.

Entre 1712 y 1713 hubo un intercambio de correspondencia entre Johan Bernoulli y Leibnitz, en el que discutieron el tema.

CRITERIO DE JOHAN BERNOULLI:

Ln(-x)=Ln(x)

Justificación: si (-x)²=x²  y (+x)²=x² entonces Ln(-x)²= Ln(x)² 

Otro argumento:  (por medio de derivadas)

En el caso de que x=-1, se tiene que  Ln(-1)²=Ln(1)²=2Ln(1)=0

Contraargumento de Leibnitz para x=-1:

Se sabe que :

Si x=-2, entonces la serie Ln(1+x) sería:

Que no es igual a cero, por lo que queda contradicho lo propuesto por Bernoulli.

 CRITERIO DE LEIBNITZ

“no existen los logaritmos de los números negativos”

Justificación:

CRITERIO DE EULER

Ln(-1)=Ln((-1)*x)=Ln x+Ln(-1)

La pregunta en éste caso es, cuánto vale el logaritmo de menos uno?

El mismo Euler había descubierto ya que:

Que se conoce como identidad de Euler.

i es la raíz cuadrada de menos uno

Tomando logaritmos de ambos lados, se tiene que Ln(-1)=iπ

CONCLUSIÓN: el logaritmo de un numero negativo -x es: 

Ln(-x)=Ln x + iπ

Que pertenece al conjunto de los números complejos

Adicionalmente, como un número negativo se puede representar en forma polar, se tiene que 

Si  z = re^iθ siendo r > 0 (forma polar), entonces Ln z=w = ln r + iθ. En éste caso, existe la periodicidad, por lo que hay otros logaritmos, que se obtienen sumando  2πi 


Cuando se tiene otra base distinta, el logaritmo se calcula así:
Log base b de -x= [Ln(x)+ iπ]/Ln b

Finalmente, se comprueba la definición utilizando Wolfram Alpha:

Bibliografía:

http://eulerarchive.maa.org/docs/translations/E807en.pdf
http://www.rapidtables.com/math/algebra/logarithm/Logarithm_of_Negative_Number.htm
https://uk.answers.yahoo.com/question/index?qid=20090814083439AAlhrZF
http://mathforum.org/library/drmath/view/55564.html
http://www.newton.dep.anl.gov/askasci/math99/math99180.htm