CÁLCULO DE EXTREMOS DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES CON GEOGEBRA

CÁLCULO DE EXTREMOS DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES CON GEOGEBRA

Introducción:
Debido al enorme éxito obtenido por la el software Geogebra, , se hace conveniente mostrar los campos de aplicación donde puede ser de utilidad.

Este procedimiento se puede realizar con Geogebra.

GeoGebra es un software matemático. Fue creado con la idea de ser usado  para la educación en colegios y universidades. Fue creado por Markus Hohenwarter, en el año 2001 en la Universidad de Salzburgo, luego en la Universidad de Atlantic, Florida, luego en la Universidad Estatal de Florida y actualmente , en la Universidad de Linz, Austria.

GeoGebra está escrito en Java y por tanto es posible usarlo en diferentes plataformas.

El software tiene dos partes importantes: un procesador geométrico y un procesador algebraico.

GeoGebra permite el trazado de construcciones geométricas de todo tipo así como la representación gráfica, el tratamiento algebraico y el cálculo de funciones reales de variable real, sus derivadas, integrales, etc.

DISPONIBILIDAD:

El software puede ser descargado sin costo del sitio: www.geogebra.org 

Existen versiones para: Windows, Linux, MacIntosh, Android e Ios.

Existen algunas diferencias entre las versiones, pero la mayoría de aspectos son iguales.

La última versión disponible es la 5.

IMPORTANTE: Hasta el momento, las versiones para Android no tienen incorporada la vista CAS, por lo tanto el procedimiento que se mostrará no funciona en tabletas y smartphones.

El cálculo de extremos de funciones de dos variables, implica un algoritmo donde se realizan las siguientes operaciones:

1.     Calcular las derivadas parciales, respecto a x y a y

2.     Igualar a cero las derivadas parciales y resolver el sistema de ecuaciones, con lo cual se obtienen los valores críticos

3.     Calcular las segundas derivadas parciales (f_xx, f_yy y _fxy)

4.     Valuar las segundas derivadas parciales en cada uno de los puntos críticos

5.     Calcular el Hessiano: f_xx*f_yy-f_xy²

6.     Aplicar la regla de decisión: Hessiano negativo: punto de silla, Hessiano positivo y f_xx positivo: mínimo, Hessiano positivo y f_xx negativo: máximo

EJEMPLO

Dada la función: f(x,y)= 2x⁴+y²-x²-2y

Encuentre valores críticos

Calcule extremos y determine su naturaleza

Paso 1:  definir la función:   En el área de entrada escribir: 2x^4+y^2-x^2-2y   enter

Geogebra le asigna automáticamente un nombre a la función e indica que es multivariable

a(x,y)= 2x⁴+y²-x²-2y

Si se activa la vista 3d presenta la gráfica

Paso 2:  calcular derivadas parciales, respecto a x, y respecto a y

             Teclado                                                          Resultado

             Derivada[a,x]    enter ……………………………8x³-2x

             Derivada[a,y]    enter …………………………….2y-2

Por ejemplo, les asigna los nombres b y c a las derivadas

Paso 3: Calcular valores críticos

Activar la vista CAS e ingresar:

                Resuelve[8x³-2x=0,x]………. (-1/2), (1/2), (0)……. En la derivada sólo hay una variable

                Resuelve[2y-2=0,y] ……… 1

Los puntos críticos son: (-1/2,1), (1/2,1), (0,1)

Paso 4: Calcular segundas derivadas parciales

Derivada[b,x]   enter …………………24x²-2

Derivada[c,y]    enter ………………..2

Derivada[b,y]    enter ………………….0

Paso 5: Valuar la f_xx y el Hessiano para el punto (-1/2,1). En la vista CAS ingresar:

                               d(-1/2)………………………………4

                            d(-1/2)*e(1)-f(0)^2 …………………  8

                            ES UN MÍNIMO

Paso 6: Valuar la f_xx y el Hessiano para el punto (1/2,1)                                               

                            d(1/2)…………………….…………4

                            d(-/2)*e(1)-f(0)^2 …………………  8

                            ES UN MÍNIMO

Paso 7: Valuar la f_xx y el Hessiano para el punto (0,1)

                               d(0)……………………………………-2

                            d(0)*e(1)-f(0)^2 …………………  -4       ES UN PUNTO DE SILLA