CÁLCULO DE EXTREMOS DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES CON MAXIMA

CÁLCULO DE EXTREMOS DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES CON MAXIMA

Ing. Luis Manfredo Reyes

Introducción:
Maxima es un sistema de cálculo simbólico, que fue desarrollado inicialmente   en el lenguaje de programación  Lisp. 
Maxima es un software que se derivó del sistema original Macsyma, desarrollado en el MIT (Massachusetts Institute of Technology) entre los años 1968 y 1982 como parte de un proyecto de investigación en computación simbólica  llamado “MAC”. 

En un gesto digno de agradecimiento, el MIT otorgó  una copia del código fuente original del software  al DOE (Department of Energy) en 1982, en una versión conocida como DOE-Macsyma. 

Una de estas copias fue custodiada por el Profesor William F. Schelter de la Universidad de Texas desde el año 1982 hasta su fallecimiento en 2001. 

En 1998 gracias a las gestiones y perseverancia de Schelter, se  logró obtener el permiso del Departamento de Energía para distribuir el programa bajo la llamada licencia GNU-GPL, iniciando en el año 2000 el proyecto Maxima en SourceForge con el fin de mantener y seguir desarrollando DOE-Macsyma, ahora con el nombre de Maxima. 


El Software puede descargarse, instalarse, utilizarse en forma gratuita, siempre que no se use con fines comerciales, ni se cobre por su uso. El sitio es: 
http://sourceforge.net/projects/maxima/files/latest/download?source=files

Maxima posee un  amplio conjunto de funciones para hacer manipulación simbólica depolinomios, matrices, funciones racionales, integración, derivación, manejo de gráficos en 2D y 3D, manejo de números de punto flotante y grandes, expansión en series de potencias y de Fourier, entre otras funcionalidades.

EXISTE UNA VERSIÓN DE MAXIMA PARA ANDROID E IOS, tanto para tabletas como para teléfonos inteligentes.

Se asume que el lector tiene conocimientos del uso básico del programa

Sintaxis:

En Maxima, una derivada  se representa usando la siguiente forma: diff(y,x)

ejemplo:   y´+2xy=x, en Maxima se codifica diff(y,x)+2*x*y=x
Si se trata de derivadas de orden superior, se indica así: 
diff(y,x,n)  
donde n es el grado (2=segunda, 3=tercera, etc)

En máxima los datos ingresados son identificados con la simbología %i1, %12, etc

Las salidas de resultados son identificados como %o1, %o2, etc

TODOS LOS COMANDOS QUE SE ESCRIBEN EN MAXIMA DEBEN TERMINAR EN PUNTO Y COMA

El cálculo de extremos de funciones de dos variables, implica un algoritmo donde se realizan las siguientes operaciones:

1.     Calcular las derivadas parciales, respecto a x y a y

2.     Igualar a cero las derivadas parciales y resolver el sistema de ecuaciones, con lo cual se obtienen los valores críticos

3.     Calcular las segundas derivadas parciales (f_xx, f_yy y _fxy)

4.     Valuar las segundas derivadas parciales en cada uno de los puntos críticos

5.     Calcular el Hessiano: f_xx*f_yy-f_xy²

6.     Aplicar la regla de decisión: Hessiano negativo: punto de silla, Hessiano positivo y f_xx positivo: mínimo, Hessiano positivo y f_xx negativo: máximo

EJEMPLO

Dada la función: f(x,y)= 2x⁴+y²-x²-2y

Encuentre valores críticos

Calcule extremos y determine su naturaleza

Paso 1:  definir la función:  

En el área de trabajo escribir: f(x,y):= 2*x^4+y^2-x^2-2*y;   enter

Maxima no reconoce operaciones implícitas, por lo que la multiplicación debe ser expresada adecuadamente.

Paso 2:  calcular derivadas parciales, respecto a x, y respecto a y

             Teclado                                                          Resultado

             define(a(x,y), diff(f(x,y),x)); enter …………………a(x,y)=…8x³-2x
             define(b(x,y), diff(f(x,y),y)); enter …………………b(x,y)= .2y-2

Paso 3: Calcular valores críticos

                algsys([a(x,y)=0,b(x,y)=0],[x,y]); …….{ {0,1}, {-1/2,1}, {1/2,1}}

Los puntos críticos son: (-1/2,1), (1/2,1), (0,1)

Paso 4: Calcular segundas derivadas parciales

define(c(x,y),diff(a(x,y),x));   enter ………………c(x,y)= 24x²-2

define(d(x,y), diff (b(x,y),y));   enter ……………d(x,y)=..2

define(e(x,y), diff(a(x,y),y));    enter ………………….0

Paso 5: Valuar la f_xx y el Hessiano para el punto (-1/2,1). :

                               ev(c(x,y),x= -1/2); ……………………………………4

                            ev(c(x,y), x=-1/2)*ev(d(x,y),y=1)-ev(e(x,y),x=-1/2)^2;  …………………  8

                            ES UN MÍNIMO

Paso 7: Valuar la f_xx y el Hessiano para el punto (1/2,1)                                               

                               ev(c(x,y), x=1/2); ……………………………………4

                           ev(c(x,y),x=1/2)*ev(d(x,y),y=1)-ev(e(x,y),x=1/2)^2;  …………………  8

                               ES UN MÍNIMO

Paso 8: Valuar la f_xx y el Hessiano para el punto (0,1)

                               Ev(c(x,y),x=0); ……………………………………-2

ev(c(x,y),x=0)*ev(d(x,y),y=1)-ev(e(x,y),x=0)^2; …………………  -4
      ES UN PUNTO DE SILLA