ÁLGEBRA LINEAL CON MATHEMATICA

ÁLGEBRA LINEAL CON MATHEMATICA

Ing. Luis Manfredo Reyes

El Algebra lineal es una rama de la matemática en la cual se opera con entidades llamadas Matrices y Vectores.

En éste documento se discuten las principales operaciones quese pueden realizar usando el programa Mathematica

Siendo el paquete computacional Mathematica ® (un producto de Wolfram Research) uno de los más importantes en el campo de la computación aplicada a la matemática, no es de extrañar que contenga utilidades para la resolución de aplicaciones de álgebra lineal.

En este documento se analizan los casos más importantes de operaciones con vectores y matrices, aplicando el paquete. Sin embargo, se debe tomar en cuenta que, éste software no es un sustituto del estudio ni de la resolución manual. Es solamente una herramienta de apoyo.

MATHEMATICA ES UN SOFTWARE COMERCIAL, POR LO QUE TIENE UN COSTO (Y ELEVADO POR CIERTO). No se recomienda el uso "pirata" del mismo.

 OPERACIONES CON MATRICES Y VECTORES

 Definición de una matriz:
forma directa:

MatrixForm[{1,2,3},{4,5,6}}];   shift+enter

el comando MatrixForm[] se usa para presentar el resultado en forma de matriz, de lo contrario lo hace en forma de lista de listas

FORMA INDIRECTA: se asigna a una variable

 M={{1,2,3},{4,5,6}}   shift+enter

Inversa de una matriz:
Solamente se aplica a matrices cuadradas

MatrixForm[Inverse[{{a,c},{b,d}}]  shift+enter

 MatrixForm[Inverse[{{1,2,3,4},{2,3,4,0},{3,4,0,0},{4,0,0,0}}]]  shift+enter

Determinante de una matriz:
Solamente aplica a matices cuadradas 

 m={{a,0,0},{b,c,0},{d,e,f}}  shift+enter
MatrixForm[m]  shift+enter

> Det[m];  shift+enter

a c f

Transpuesta de una matriz:
Se aplica a cualquier matriz aunque no sea cuadrada

Transpose[m]  shift+enter

Producto punto de vectores:

> a={x,y,1,2}  shift+enter

> b={3,4,5,6}  shift+enter

> a.b  shift+enter

Producto Cruz:
Es más cómodo asignar el vector  a una variable

 a= {1,2,3}  shift+enter

b={2,3,4}  shift+enter

> Cross[a,b]  shift+enter

Adición (suma) y sustracción (resta)  de matrices:

Para que éstas operaciónes  sean válidas, las matrices deben tener las mismas dimensiones

La operación se puede realizar directamente, o bien almacenar las matrices en objetos

a={{2,-1,-2},{0,4,1},{-3,3,5}} shift+enter

b={{-3,0,1},{4,3,3},{0,0,4}}  shift+enter

A+B   shift+enter

A-B  shift+enter

PRODUCTO DE MATRICES:

Es necesario cumplir con la condición de conformabilidad: el número de columnas de la primera matriz debe ser igual al número de filas de la segunda matriz.

Ejemplo: con las mismas matrices a y b efectúe: axb

 a.b;  shift+enter

Eigenvalores (Valores propios) y Eigenvectores
Para la misma matriz b del ejemplo anterior: