VISUALIZACIÓN Y CÁLCULO DE VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN CON MAXIMA

VISUALIZACIÓN Y CÁLCULO DE VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN CON MAXIMA

Ing. Luis Manfredo Reyes

Ing. Luis Manfredo Reyes Chàvez, 

Ares Físico-Matemática

Facultad de Ciencias Químicas y Farmacia USAC

luismanfredo2000@gmail.com

INTRODUCCION:

Uno de los temas màs difíciles en la enseñanza del càlculo integral es el del càlculo de volúmenes de sòlidos de revoluciòn, debido a la dificultad de visualizar los sòlidos, que requiere en muchos casos bastante imaginación.

En éste documento se discute el uso de Maxima para realizar la labor. 


Los ejempos han sido tomados, traducidos  y adaptados del documento: "wxmaxima for calculus II" del autor Zachary Hannan del Solano Community College

Maxima es un sistema de cálculo simbólico, que fue desarrollado inicialmente   en el lenguaje de programación  Lisp. 

Maxima es un software que se derivó del sistema original Macsyma, desarrollado en el MIT (Massachusetts Institute of Technology) entre los años 1968 y 1982 como parte de un proyecto de investigación en computación simbólica  llamado “MAC”. 

En un gesto digno de agradecimiento, el MIT otorgó  una copia del código fuente original del software  al DOE (Department of Energy) en 1982, en una versión conocida como DOE-Macsyma. 

Una de estas copias fue custodiada por el Profesor William F. Schelter de la Universidad de Texas desde el año 1982 hasta su fallecimiento en 2001. 

En 1998 gracias a las gestiones y perseverancia de Schelter, se  logró obtener el permiso del Departamento de Energía para distribuir el programa bajo la llamada licencia GNU-GPL, iniciando en el año 2000 el proyecto Maxima en SourceForge con el fin de mantener y seguir desarrollando DOE-Macsyma, ahora con el nombre de Maxima. 

El Software puede descargarse, instalarse, utilizarse en forma gratuita, siempre que no se use con fines comerciales, ni se cobre por su uso. El sitio es: 
http://sourceforge.net/projects/maxima/files/latest/download?source=files

Maxima posee un  amplio conjunto de funciones para hacer manipulación simbólica de polinomios, matrices, funciones racionales, integración, derivación, manejo de gráficos en 2D y 3D, manejo de números de punto flotante y grandes, expansión en series de potencias y de Fourier, entre otras funcionalidades.

EXISTE UNA VERSIÓN DE MAXIMA PARA ANDROID E IOS, tanto para tabletas como para teléfonos inteligentes.

PROCEDIMIENTO PARA VISUALIZAR  SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN:

EJEMPLOS:

Ejemplo 1:

Calcule el volumen generado con la rotación de y=x² entre x=0^, x=2 alrededor del eje x

Ingresar la siguiente orden:

load(draw)$
draw3d(
axis_3d=false,
dimensions=[600,600],
view=[85,10],
xrange=[0,3],
yrange=[-4,4],
zrange=[-4,4],
xtics=false,
ytics=false,
ztics=false,
color=black,
nticks=600,
line_width=2,
parametric(t,0,0,t,0,3),
parametric(0,t,0,t,-4,4),
parametric(0,0,t,t,-4,4),
color=dark_grey,
parametric_surface(r,r^2*cos(t),r^2*sin(t),r,0,2,t,0,2*%pi),
color=black,
parametric_surface(r,r^2*cos(t),r^2*sin(t),r,1.3,1.4,t,0,2*%pi),
color=dark_red,
parametric_surface(1.4,u^2*cos(t),u^2*sin(t),u,0,1.4,t,0,2*%pi)
);  shift+enter

El resultado obtenido es el siguiente:

Para definir los discos, se utilizan funciones paramétricas para el círculo

El disco de análisis se presenta en color negro

Para calcular el volumen se ingresa:

integrate(%pi*(x^2)^2,x,0,2); shift+enter

(32 %pi)/5

si se desea resultado decimal se usa el comando float:

float(integrate(%pi*(x^2)^2,x,0,2)); shift+enter

EJEMPLO 2:

Calcule el volumen generado con la rotación de y=x² entre x=0^, x=2 alrededor del eje y

Ingresar la siguiente orden:

load(draw) $

draw3d(
axis_3d=false,
dimensions=[600,600],
view=[85,10],
xrange=[-3,3],
yrange=[-3,3],
zrange=[0,9],
xtics=false,
ytics=false,
ztics=false,
color=black,
nticks=600,
line_width=2,
parametric(t,0,0,t,-3,3),
parametric(0,t,0,t,-3,3),
parametric(0,0,t,t,0,6),
color=dark_grey,
parametric_surface(r*cos(t),r*sin(t),r^2,r,0,2,t,0,2*%pi),
color=black,
parametric_surface(r*cos(t),r*sin(t),r^2,r,1.3,1.4,t,0,2*%pi),
color=dark_red,
parametric_surface(r*cos(t),r*sin(t),1.4^2,r,0,1.4,t,0,2*%pi)
);
Y se obtiene e siguiente resultado:

Para calcular el volumen se ingresa la orden:
integrate(%pi*(sqrt(y)^2,y,0,2)  
y a respuesta es: 

8*%pi

EJEMPLO 3: Calcule el volumen del sólido obtenido cuando la región formada por y=0.3x, y=sen x rota alrededor del eje x.

Inicialmente, se grafican las funciones en 2 dimensiones para observar la intersección y se calcula la intersección.

load(draw)$
f(x):=0.3*x$
g(x):=sin(x)$  shitf+enter
find_root(f(x)-g(x),x,1.4);  shit enter
2.3564411

draw2d( xaxis=true, yaxis=true,xtics=false,ytics=false,
dimensions=[600,600], xrange=[-%pi,%pi], yrange=[-1.2,1.2],
fill_color=grey, filled_func=true, filled_func=f(x),
explicit(g(x),x,0,2.356), filled_func=false,
line_width=2,color=black,key="f(x)",
explicit(f(x),x,-%pi,%pi), color=red,
key="g(x)", expicit(g(x),x,-%pi,%pi) );

Resultado:

Ahora se procede a la rotación:
draw3d( xxis_3d=false, yaxis=true,xtics=false,ytics=false,ztics=false,
dimensions=[600,600],view=[85,10], xrange=[-%pi,%pi], yrange=[-1.2,1.2], zrange=[-1.2,1.2],
color=black, nticks=200, line_width=2,
parametric(t,0,0,t,-%pi,%pi),
parametric(0,t,0,t,-1.2,1.2),
parametric(0,0,t,t,-1.2,1.2),
color=grey, transparent=true,
parametric_surface(r,g(r)*sin(t), g(r)*cos(t),r,-2.356,2.356,t,0,2*%pi
transparent=false, color=dark_grey,
parametric_surface(r,f(r)*sin(t), f(r)*cos(t),r,-2.356,2.356,t,0,2*%pi
clor=black,
parametric_surface(1.6,u*sin(t), u*cos(t),u,f(1.6), g(1.6),t,0,2*%pi
);   shift+enter

y e resultado obtenido es:

Para calcuar el volumen, se ingresa la integral:
float(2*integrate(%pi*(sin(x)^2-(0.3*x)^2,x,0,2.356));   shift+enter

y el volumen deseado es: 6.50733