Cálculo de valores y vectores propios y sus aplicaciones

UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS

FACULTAD DE CIENCIAS QUIMICAS Y FARMACIA

CURSO CORTO:

“CALCULO DE VALORES PROPIOS, VECTORES PROPIOS Y SUS APLICACIONES“

ING. LUIS MANFREDO REYES

GUATEMALA, 2013

1.      INTRODUCCION: Los valores y vectores propios, son propiedades importantes de las matrices cuadradas de tamaño nxn y tienen aplicaciones en el cálculo y la estadística. En éste curso inicialmente se estudiarán los métodos manuales de cálculo de valores y vectores propios, y posteriormente una de sus aplicaciones, qué consiste en la solución de sistemas lineales de ecuaciones diferenciales.

2.     

Definiciones:

2.1 Noción intuitiva:

En álgebra lineal, los vectores propios, autovectores o eigenvectores de un operador lineal son los vectores no nulos que, cuando son transformados por el operador, dan lugar a un múltiplo escalar de sí mismos, con lo que no cambian su dirección. Este escalar  recibe el nombre valor propio, autovalor, valor característico o eigenvalor. A menudo, una transformación queda completamente determinada por sus vectores propios y valores propios. Un espacio propio, autoespacio, eigenespacio o subespacio fundamental asociado al valor propio  es el conjunto de vectores propios con un valor propio común.

La palabra alemana eigen, que se traduce en español como propio, se usó por primera vez en este contexto por David Hilbert en 1904 (aunqueHelmholtz la usó previamente con un significado parecido). Eigen se ha traducido también como inherente, característico o el prefijo auto-, donde se aprecia el énfasis en la importancia de los valores propios para definir la naturaleza única de una determinada transformación lineal. Las denominaciones vector y valor característicos también se utilizan habitualmente. (Fuente: Wikipedia)

Fig. 1. En esta transformación de la Mona Lisa, la imagen se ha deformado de tal forma que su eje vertical no ha cambiado. (nota: se han recortado las esquinas en la imagen de la derecha). El vector azul, representado por la flecha azul que va desde el pecho hasta el hombro, ha cambiado de dirección, mientras que el rojo, representado por la flecha roja, no ha cambiado. El vector rojo es entonces un vector propio de la transformación, mientras que el azul no lo es. Dado que el vector rojo no ha cambiado de longitud, su valor propio es 1. Todos los vectores de esta misma dirección son vectores propios, con el mismo valor propio. Forman el espacio propio de este valor propio. (fuente: Wikipedia)

Si A es cualquier matriz numérica cuadrada, de tamaño nxn, entonces:

2.1 Un valor propio, denominado “λ”, es un escalar distinto de cero, que para un vector “v” también distinto de cero, que cumple la siguiente condición:

Av= λv

2.2 El vector v se llama vector propio de λ, si

Av= λv

3.      Método de cálculo de valores y vectores propios:

A es cualquier matriz cuadrada tamaño n x n

Si λ es un valor propio de A, entonces: det(A-λI)=0 (I es la matriz identidad tamaño n x n)

Si v es un vector propio de A asociado a λ, entonces det(A-λI)v=0

3.1 Algoritmo para calcular los valores propios y vectores propios

3.1.1.  Formar la matriz A

3.1.2. Formar la matriz I

3.1.3 Operar λI

3.1.4 Operar A- λI

3.1.5 calcular la determinante e igualar a cero

3.1.6 operar por v e igualar a cero, sustituyendo cada uno de los valores propios encontrados previamente.

El número de valores propios de la matriz es igual a n

4.      Ejemplo  de cálculo

Calcular los valores y vectores propios de la matriz:

4.1  la matriz A y está formada

4.2  la matriz identidad es:

4.3  se opera el producto

4.4  se opera la diferencia:

4.5  Se calcula la determinante: det(A-λI)=( 4-λ)(-3- λ)-(2*-5)= )=( 4-λ)(-3- λ)+10

4.6  El resultado se iguala a cero: ( 4-λ)(-3- λ)+10=0-> λ²- λ-12+10=0-> λ²- λ-2=0

A éste polinomio se le llama polinomio característico, y al resolverlo, se obtiene que λ=-1 , λ=2. Estos son los valores propios de la matriz A.

4.7  Se calculan ahora los vectores propios:

El vector v tiene dos valores que pueden llamarse x,y así:

Para λ=-1

También éste sistema tiene infinitas soluciones

5.      Cálculo con software matemático

Ejemplo con Scientific Notebook:

Utilizar el botón Matriz o el comando INSERT->MATRIX y definir el tamaño 2 filas y 2 columnas:

Otro ejemplo:

Al resolver ésta ecuación, se obtiene: λ=7, λ=1, λ=1

En scientific notebook queda así:

APLICACIONES:

Los valores propios y los vectores propios tienen muchas aplicaciones.

Se mencionarán algunas de ellas:

ESTADÍSTICA:

Análisis de conglomerados (Cluster)

Como parte del análisis, se calculan los valores propios de la matriz de varianza covarianza, lo que permite posteriormente calcular las distancias.

Análisis de componentes principales:

Los valores propios permiten decidir qué variables son las realmente importantes y posteriormente realizar agrupamientos

Análisis de factores (Factor Análisis)

ECUACIONES DIFERENCIALES:

Se usan para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales.

FISICA:

a)      En la mecánica cuántica, la base es los valores y vectores propios. Los datos se representan por operadores hermitianos Q. En un cierto estado, se encuentra el valor propio a, y el estado del sistema será la proyección del estado sobre el vector propio asociado con a.

b)      Los péndulos: hay una Buena demostración con botellas oscilantes, que depende de valores propios. Esto puede encontrarse bajo el tema “péndulos acoplados”.

c)      En rotación de cuerpos rígidos, si importar lo complicado que un objeto parece, siempre hay al menos un conjunto de tres direcciones ortogonales alrededor en las que el cuerpo puede rotar sin precesión, y para su cálculo se usan vectores propios.

d) TELECOMUNICACIONES: El llamado algoritmo de “formación de rayos”, en el caso de antenas múltiples, requiere el calculo de vectores propios.

DINAMICA POBLACIONAL:

Se puede modelar la dinámica de una población en forma de una matriz actuando sobre vectores, y analizar en las iteraciones lo que ocurre. Para ello se utiizan vectores propios.

OTRAS APLICACIONES: (fuente: Wikipedia)

Ecuación de Schrödinger

Orbitales moleculares

Caras propias

En procesado de imagen, las imágenes procesadas de caras pueden verse como vectores cuyas componentes son la luminancia de cada píxel. La dimensión de este espacio vectorial es el número de píxeles. Los vectores propios de la matriz de covarianza asociada a un conjunto amplio de imágenes normalizadas de rostros se llaman caras propias. Son muy útiles para expresar una imagen de un rostro como la combinación lineal de otras. Las caras propias proporcionan un medio de aplicar compresión de datos a los rostros, para propósitos de biometría.

Tensor de inercia

En mecánica, los vectores propios del momento de inercia definen los ejes principales de un cuerpo rígido. El tensor de inercia es necesario para determinar la rotación de un cuerpo rígido alrededor de su centro de masa. Los valores propios definen los momentos máximos y mínimos obtenidos mediante el círculo de Mohr.

Tensor de tensión

En mecánica de sólidos deformables, el tensor de tensión es simétrico, así que puede descomponerse en un tensor diagonal cuyos valores propios en la diagonal y los vectores propios forman una base.

Valores propios de un grafo

En teoría espectral de grafos, un valor propio de un grafo se define como un valor propio de la matriz de adyacencia del grafo A, o de la matriz Laplaciana del grafo , donde T es una matriz diagonal que contiene el grado de cada vértice, y en , 0 se substituye por . El vector propio principal de un grafo se usa para medir la centralidad de sus vértices. Un ejemplo es el algoritmo PageRank de Google. El vector propio principal de una matriz de adyacencia modificada del grafo de la web da el page rank en sus componentes.