SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE UNA VARIABLE POR EL MÉTODO DE LA SECANTE EN EXCEL

SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE UNA VARIABLE POR EL MÉTODO DE LA SECANTE  EN EXCEL

Ing. Luis Manfredo Reyes

En aquellos casos en que no es posible o no es práctico encontrar la solución de una ecuación de una variable por métodos analíticos, se recurre a los métodos numéricos.

Existen excelentes libros que abordan el tema, en especial el de Burden y Faires. El objetivo del presente documento es mostrar la resolución de una ecuación utilizando Microsoft Excel.

METODO DE LA SECANTE

Este método pretende reducir la cantidad de iteraciones necesarias para lograr la convergencia de la solución. Se basa en el hecho de que el método de bisección siempre utiliza la mitad del intervalo, pero no toma en cuenta que la solución puede estar más cerca de uno de los valores (x₀ o x₁). Para ello, se traza una línea entre  f(x0) y f(x1) y se calcula el x2 como el punto en que la línea intersecta al eje x. (ver gráfica)

El nuevo valor de x2 se calcula así:

 VENTAJAS:

·         Converge más rápidamente que bisección

·         No necesita derivadas para el cálculo de aproximaciones (comparado con el método de Newton)

DESVENTAJAS:

·               En ocasiones, aunque existe la solución, el método no converge

  

  

ALGORITMO DEL METODO DE LA SECANTE:

1. Pedir los datos de entrada: aproximaciones iniciales P₀, P₁, tolerancia T y número máximo de iteraciones N₀

2. Definir:  i=2;   q₀=f(p₀);  q₁=f(p₁)

3. Mientras que I<=N₀ seguir los pasos 4-7

        4. Calcular p=p₁-q₁*(p₁-p₀)/(q₁-q₀)

        5. Si |p-p₁|<=T entonces presentar resultado (p) y fin del proceso, si no:

6       i=i+1

   7  Calcular:  p₀=p₁; q₀=q₁; p₁=p; q₁=f(p)

1.        Mensaje de error “El método fracasó despues de N₀ iteraciones”

2.        Fin.

IMPLEMENTACION DEL ALGORITMO:

Si se aplica el método a una ecuación comparando con el de bisección, se observará que se necesitan menos iteraciones para obtener la solución final.

El archivo de Excel donde se implementa el método es:

https://www.mediafire.com/?kp64ut742bfrgb7

Ejemplo:

Resuelva la ecuación x⁵+x-1=0

en la celda E7 se ingresa la tolerancia, que usualmente puede ser 0.00001 o cualquier otro valor

Se deben ingresar dos aproximaciones iniciales para el cálculo, a criterio del usuario

en este caso por ejemplo: 0 y 1

en la celda C10 se ingresa la fórmula, usando en lugar de x el valor B10, es decir

+B10^5+B10-1

Esta celda se copia al resto de la columna.

Excel realiza los cálculos y presenta la solución

RESUELVA LA ECUACION:  x5+X-1=0			TOLERANCIA=	0.00001
ITERACION	X	(FX)	MENOR A TOL
0	0	-1	TODAVIA NO
1	1	1	TODAVIA NO
2	0.5	-0.46875	TODAVIA NO
3	0.65957447	-0.21559547	TODAVIA NO
4	0.79547381	0.11398846	TODAVIA NO
5	0.74847225	-0.01663017	TODAVIA NO
6	0.75445642	-0.00110441	TODAVIA NO
7	0.7548821	1.1631E-05	TODAVIA NO
8	0.75487766	-8.0344E-09	SOLUCION
9	0.75487767	-5.8398E-14	SOLUCION
10	0.75487767	0	SOLUCION
11	0.75487767	0	SOLUCION
12	#¡DIV/0!	#¡DIV/0!	#¡DIV/0!
13	#¡DIV/0!	#¡DIV/0!	#¡DIV/0!
14	#¡DIV/0!	#¡DIV/0!	#¡DIV/0!
15	#¡DIV/0!	#¡DIV/0!	#¡DIV/0!
16	#¡DIV/0!	#¡DIV/0!	#¡DIV/0!
17	#¡DIV/0!	#¡DIV/0!	#¡DIV/0!
18	#¡DIV/0!	#¡DIV/0!	#¡DIV/0!
19	#¡DIV/0!	#¡DIV/0!	#¡DIV/0!
20	#¡DIV/0!	#¡DIV/0!	#¡DIV/0!

La solución se encuentra en 8 iteraciones

En forma comparativa, el método de bisección necesita 21 iteraciones para llegar a la solución.