CALCULO Y VISUALIZACION DE AREAS BAJO LA GRAFICA DE UNA FUNCION CON MAXIMA

CALCULO Y VISUALIZACION DE AREAS BAJO LA GRAFICA DE UNA FUNCION CON MAXIMA

Ing. Luis Manfredo Reyes

Introducción:

Otra de las aplicaciones de la integral  que se enseña en los cursos de cálculo , es la de calcular el área bajo la grafica de una funcion (incorrectamente llamada “área bajo la curva"). 

Para ello es necesario realizar la gráfica de la funcion, determinar los límites de integración y luego “armar” la integral que representa el área.

Aunque existen muchas opciones para realizar gráficas, en el presente documento se discute  el uso de Maxima

Maxima es un sistema de cálculo simbólico, que fue desarrollado inicialmente   en el lenguaje de programación  Lisp. 

Maxima es un software que se derivó del sistema original Macsyma, desarrollado en el MIT (Massachusetts Institute of Technology) entre los años 1968 y 1982 como parte de un proyecto de investigación en computación simbólica  llamado “MAC”. 


En un gesto digno de agradecimiento, el MIT otorgó  una copia del código fuente original del software  al DOE (Department of Energy) en 1982, en una versión conocida como DOE-Macsyma. 


Una de estas copias fue custodiada por el Profesor William F. Schelter de la Universidad de Texas desde el año 1982 hasta su fallecimiento en 2001. 


En 1998 gracias a las gestiones y perseverancia de Schelter, se  logró obtener el permiso del Departamento de Energía para distribuir el programa bajo la llamada licencia GNU-GPL, iniciando en el año 2000 el proyecto Maxima en SourceForge con el fin de mantener y seguir desarrollando DOE-Macsyma, ahora con el nombre de Maxima. 


El Software puede descargarse, instalarse, utilizarse en forma gratuita, siempre que no se use con fines comerciales, ni se cobre por su uso. El sitio es: 
http://sourceforge.net/projects/maxima/files/latest/download?source=files

Maxima posee un  amplio conjunto de funciones para hacer manipulación simbólica de polinomios, matrices, funciones racionales, integración, derivación, manejo de gráficos en 2D y 3D, manejo de números de punto flotante y grandes, expansión en series de potencias y de Fourier, entre otras funcionalidades.

EXISTE UNA VERSIÓN DE MAXIMA PARA ANDROID E IOS, tanto para tabletas como para teléfonos inteligentes.

GRAFICAS DE FUNCIONES Y CÁLCULO DEL ÁREA BAJO LA GRÁFICA
MÉTODO 1: PROCEDIMIENTO MANUAL SIN SOMBREADO
Calcule el área bajo la gráfica de y= -x²+1, entre x=-1 , x=1 y el eje x

En el area de comandos de Maxima se ingresa: plot2d(-x^2+1,[x,-2,2],[y,-2,5]); y se oprime shift+enter
aparece la siguiente grafica:

Luego se define la integral para el calculo del area: integrate(-x^2+1,x,-1,1); y se oprime shift+enter
Y el resultado es:

Si se desea un resultado decimal, se ingresa: float(integrate(-x^2+1,x,-1,1));
Y el resultado es: 1.333333

Ejemplo 2:

Calcule el área limitada por x=y², el eje x y x=3
Esta es una parábola horizontal con vértice en el origen

Es necesario convertir la ecuación a la forma y= f(x): y=x^1/2  o y=sqrt(x)

se ingresa el comando: plot2d(sqrt(x),[x,0,3]); y se oprime shift+enter
y el resultado es:

Se especifica la integral del area:  integrate(sqrt(x),x,0,3); y se oprime shift+enter
y el resultado es:  2 sqrt(3)
Si se quiere un resultado decimal, se ingresa: float(integrate(sqrt(x),x,0,3)); y el resultado es:
 3.464101615137754

MÉTODO 2: UTILIZANDO EL PAQUETE DRAW

Existe una gran cantidad de paquetes creados por usuarios de Maxima, que complementan las funciones del sistema. Uno de ellos es para gráficas, se llama draw

Para cargar el paquete draw, se usa la orden: load(draw)$ y se oprime shift enter

ejemplo: Cálcule al área limitada por el eje x y la gráfica de f (x) = 2 x³ + x²- 2 x - 1

1) Definir la función:  f(x):=2*x^3+x^2-2*x-1$  shift+enter

2) Cargar el paquete draw:  load(draw)$  shift+enter

3) Dibujar la gráfica en el intervalo de x de -2 a 2 para una vista inicial

            plot2d(f(x),[x,-2,2]);  shift+enter

Resultado:

al inspeccionar la gráfica se nota la necesidad de redefinir los límites de trazado 

4) lo que debe hacerse es encontrar los ceros de la función, es decir los puntos en los que la gráfica cruza el eje x:

solve(f(x)=0,x);  shift enter

5) Redibujar la gráfica con los nuevos límites:

plot2d(f(x),[x,-1,1]);  shift enter

6) Procedimiento para sombrear el área:

draw2d(filled_func=0, fill_color=grey,explicit(f(x),x,-1,1),filled_func=false,

color=blue, line_width=2,explicit(f(x),x,-1,1),xaxis=true);      shift enter

Resultado:

7) Cálculo del área
En la gráfica pueden verse dos secciones, que deben calcularse por separado, tomando en cuenta que la parte bajo el eje x producirá un área negativa si se ingresa a la integral.
integrate(f(x),x,-1,-1/2)+abs(integrate(f(x),x,-1/2,1));
o bien si se desea resultado decimal:
float(integrate(f(x),x,-1,-1/2)+abs(integrate(f(x),x,-1/2,1)));