martes, 24 de junio de 2014

LA CONTROVERSIA DE LA EXISTENCIA DE LOS LOGARITMOS DE LOS NÚMEROS NEGATIVOS

LA CONTROVERSIA DE LA EXISTENCIA DE LOS LOGARITMOS DE LOS NÚMEROS NEGATIVOS
Ing. Luis Manfredo Reyes

Seguramente a todos nosotros, nos enseñaron en la secundaria e incluso en la universidad, la letanía que dice “no existen los logaritmos para los números negativos y cero”.
Sin embargo, a lo largo de la historia, desde que se descubrieron los logaritmos, ha existido la inquietud de saber si existen o no los logaritmos para los números negativos.

Algunos de los más destacados matemáticos de la historia han discutido el asunto, llegando a interesantes planteamientos.
Entre 1712 y 1713 hubo un intercambio de correspondencia entre Johan Bernoulli y Leibnitz, en el que discutieron el tema.


CRITERIO DE JOHAN BERNOULLI:
Ln(-x)=Ln(x)
Justificación: si (-x)2=x2  y (+x)2=x2 entonces Ln(-x)2= Ln(x)2 
Otro argumento:  (por medio de derivadas)
En el caso de que x=-1, se tiene que  Ln(-1)2=Ln(1)2=2Ln(1)=0
Contraargumento de Leibnitz para x=-1:
Se sabe que :

Si x=-2, entonces la serie Ln(1+x) sería:

Que no es igual a cero, por lo que queda contradicho lo propuesto por Bernoulli.

 CRITERIO DE LEIBNITZ
“no existen los logaritmos de los números negativos”
Justificación:


CRITERIO DE EULER
Ln(-1)=Ln((-1)*x)=Ln x+Ln(-1)
La pregunta en éste caso es, cuánto vale el logaritmo de menos uno?
El mismo Euler había descubierto ya que:
Que se conoce como identidad de Euler.
i es la raíz cuadrada de menos uno
Tomando logaritmos de ambos lados, se tiene que Ln(-1)=iπ
CONCLUSIÓN: el logaritmo de un numero negativo -x es: 
Ln(-x)=Ln x + iπ

Que pertenece al conjunto de los números complejos
Adicionalmente, como un número negativo se puede representar en forma polar, se tiene que 
Si  z = reiθ siendo r > 0 (forma polar), entonces Ln z=w = ln r + iθ. En éste caso, existe la periodicidad, por lo que hay otros logaritmos, que se obtienen sumando  2πi 


Cuando se tiene otra base distinta, el logaritmo se calcula así:
Log base b de -x= [Ln(x)+ iπ]/Ln b

Finalmente, se comprueba la definición utilizando Wolfram Alpha:





Bibliografía:
http://eulerarchive.maa.org/docs/translations/E807en.pdf
http://www.rapidtables.com/math/algebra/logarithm/Logarithm_of_Negative_Number.htm
https://uk.answers.yahoo.com/question/index?qid=20090814083439AAlhrZF
http://mathforum.org/library/drmath/view/55564.html
http://www.newton.dep.anl.gov/askasci/math99/math99180.htm


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