sábado, 29 de marzo de 2014

SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES CON SCIENTIFIC NOTEBOOK

SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES CON SCIENTIFIC NOTEBOOK
Ing. Luis Manfredo Reyes
Scientific Notebook Version 5.5 es un paquete de software desarrollado por MacKichan para cumplir con dos tareas básicas: actuar como un procesador de textos orientado a la matemática (estilo LaTex), y por otra parte, es un área de trabajo para cálculos numéricos y simbólicos, como los que realizan estudiantes y profesores en el proceso de enseñanza-aprendizaje.
Con éste software, es posible realizar operaciones con expresiones algebráicas (expandir, factorizar, simplificar), resolver ecuaciones en una variable, sistemas de ecuaciones simultáneas, operar matrices, cálculos estadísticos, cálculo diferencial e integral, ecuaciones diferenciales, y graficas en 2 y 3 dimensiones.

Scientific Notebook Version 5.5 ha sido desarrollado sobre la base del motor de cómputo MUPAD 3.1, el cual es utilizado en sustitución del anterior Maple, que . también es utilizado por el software Matlab y el Mathcad.

Una de las características importantes que tiene el Scientific Notebook, es la solución de ecuaciones diferenciales de diferentes tipos, lo cual lo convierte en una herramienta poderosa para la enseñanza de éste tema en los cursos de cálculo
Se asume que el lector tiene conocimiento del manejo básico del Scientific Notebook.

Sintaxis:
Una ecuación diferencial se puede escribir en el Scientific Notebook de dos formas:
Usando la nomenclatura de Leibnitz para identificar las derivadas. ejemplo:   y´+2xy=x
Usando la nomenclatura de razón de cambio. ejemplo: 
No se puede usar la forma polinomial: P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0. En éste caso se debe hacer la manipulación algebráica para acomodarla a una de las dos formas que sí acepta el programa

Procedimiento
Luego de ingresar la ecuación en el estilo "M", se ejecuta lo siguiente:
COMPUTE-->SOLVE ODE--> y escoger una de las formas posibles que tiene el programa
EXACT: Solución algebráica por métodos estándar
LAPLACE: sustitución por transformada de La Place
NUMERIC: aplicación de un método numérico para resolver un caso de valor inicial
SERIES: conversión de la ecuación a una serie para poder resolverla
Poner una gráfica del proceso

IMPORTANTE: No todos los métodos producen la misma respuesta, debido a los algoritmos de solución que se aplican.
En cada caso que se resuelve, el  programa cambia los índices de las constantes del modelo final, para evitar confusión .

ES POSIBLE IMPLEMENTAR SOLUCIONES PASO A PASO PERO DEBEN SER REALIZADAS POR EL USUARIO

EN ALGUNOS CASOS LA SOLUCIÓN ES A MEDIAS, ES DECIR QUE QUEDA PENDIENTE RESOLVER ALGUNA EXPRESION

CASO 1: Ecuaciones diferenciales Separables:
  Resuelva:
  ,
Solución exacta: Exact solution is: 
Solución por LaPlace: No produce solución
Solución por series: , Series solution is: 
  Resuelva 

Solución exacta: Exact solution is: 
Solución por Laplace No produce solución
Solución por series: Series solution is:  
Resuelva:

Solucón exacta: como hay un valor inicial se debe crear un Display, en la primera fila se coloca la ecuación y en la segunda la condicion inicial


 Exact solution is: 
Laplace solution is:
   
Series solution is: 




La famosa ecuación diferencial que define el crecimiento exponencial
  
  



miércoles, 26 de marzo de 2014

PROGRAMAS PARA TABLAS ESTADÍSTICAS EN CALCULADORAS CASIO PROGRAMABLES


PROGRAMAS PARA TABLAS ESTADÍSTICAS EN CALCULADORAS CASIO PROGRAMABLES
Ing. Luis Manfredo Reyes

 Las calculadoras Casio son muy populares en todas partes debido a su precio accesible y a su potencia de cálculo, existiendo incluso modelos que operan lógica simbólica.

Una de las necesidades que existen para los estudiantes de estadística, es la de obtener valores críticos para estadísticos como Chi Cuadrado, t de student, Z y F. Pero el uso se tablas se hace obsoleto si la calculadora puede ser programada para realizar el proceso.

PROGRAMAS PARA TABLAS ESTADÍSTICAS EN CALCULADORAS HEWLETT PACKARD PROGRAMABLES


IMPLEMENTACION DE TABLAS ESTADISTICAS EN LA CALCULADORA HP-48 y 49 PROGRAMABLES

Por: Ing. Luis Manfredo Reyes

INTRODUCCION: Para el estudiante de Estadística es conveniente disponer de tablas estadísticas para varios temas de los cursos . Los que disponen de calculadora HP-48 en cualquiera de sus modelos, o HP 49,  tienen la posibilidad de usar la capacidad instalada de éstas  máquinas para incorporar las siguientes tablas: Chi cuadrado, T de Student, F y Curva Normal.  Los programas fueron desarrollados en una HP 48-SX, de modo que deben probarse en otros modelos y posiblemente se requieran algunos pequeños ajustes.

martes, 25 de marzo de 2014

ASISTENTE MATEMÁTICO (CAS) PARA WINDOWS



UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS




FACULTAD DE CIENCIAS QUÍMICAS Y FARMACIA

CURSO CORTO:

PAQUETE “CAS”
(COMPUTER ASSISTED SOFTWARE)

Ing. Luis Manfredo Reyes


1. INTRODUCCIÓN:
            El software “Computer Assistant Software –CAS”, es un paquete de programas desarrollado sobre la plataforma computacional matemática “MAPLE” ®. Originalmente este paquete forma parte del Software “Journey Thru Calculus”, que acompaña al libro de Edwards y Penney. Sin embargo, dado el potencial que esta herramienta tiene, se considera importante el tratarla por aparte del resto del programa. Se asume que los participantes tienen conocimientos sólidos en los temas de álgebra, cálculo diferencial, cálculo integral y uso de Microsoft Windows ®.

El programa puede descargarse aquí: http://www.mediafire.com/download/5hj63x05rl81dq6/CAS.zip

INSTRUCCIONES DE INSTALACION:
1. Descargar el archivo
2. Descomprimir el archivo en alguna parte del disco duro (usualmente C:\  o Archivos de programa)
 
2. INGRESO AL PROGRAMA:
Para ingresar al programa, se asume que el mismo ya se encuentra instalado en la microcomputadora donde será utilizado.
Los pasos para su uso son:
Abrir la herramienta de Windows “MI PC”
Abrir la unidad de disco duro (usualmente se llama “C:” )
Localizar y Abrir la carpeta  “CAS”
Abrir la carpeta “INTERFAC”
Localizar y dar doble clic sobre el archivo “CASINTA.EXE”

Se puede crear un acceso directo a este archivo y colocarlo en el escritorio

3. AMBIENTE DE TRABAJO:
La ventana de trabajo del programa es la siguiente:

La parte superior, llamada área INPUT, sirve para ingresar funciones al sistema. El área inferior izquierda, llamada área OUTPUT, es utilizada por el sistema para presentar los resultados que el mismo produce. En la parte derecha hay una serie de botones, que sirven para ejecutar algunas de las acciones que el programa puede realizar.

4. Nombre de la variable en uso:
Este sistema está capacitado para operar con una sola variable, la cual usualmente se llama “x”. Sin embargo, es posible cambiarle el nombre, ingresándolo en la ventana que se encuentra en la parte de abajo a la izquierda. Los nombres de variables más usados son: x,y,z,t

5. Construcción de expresiones  
Al igual que otros lenguajes de programación y paquetes computacionales, el CAS reconoce los siguientes operadores aritméticos:
Adición:         +
Sustracción: -
Producto:      *
Cociente:      /
Potencia        ^
Paréntesis    ()

Adicionalmente, CAS reconoce las siguientes funciones especiales:
EXP(.....)        antilogaritmo natural
LN (.....)          Logaritmo natural (el valor no puede ser cero ni negativo)
SQRT(....)      Raíz cuadrada (el valor no puede ser negativo ni cero)
SIN(...)           Seno (dato en radianes)
Cos(...)           Coseno (dato en radianes)
TAN(...)          Tangente (Dato en radianes)
ATAN(...)       Tangente inversa (respuesta en radianes)

Si no se especifica lo contrario, CAS reconoce la siguiente jerarquía operativa:
1)    funciones
2)    paréntesis
3)    potencias
4)    producto y cociente
5)    adición y sustracción

Una expresión debe quedar toda en una misma línea.
No se permiten operaciones implícitas (ejemplo 3*x y no 3x)

Ejemplos:


6. FACTORIZACION DE EXPRESIONES:
CAS puede factorizar toda clase de polinomios de una variable. Se debe entender que la factorización es en modo entero, es decir que x2-2, que en los reales se factoriza como
en los enteros es irreducible
Para ello, se coloca en la zona INPUT el polinomio a factorizar y se hace clic sobre el boton FACTOR:  Ejemplo: factorice  X5-1



Ejercicios: Factorice los siguientes polinomios:
16x4-32x3+24x2-8x+1
(1/27)*x3+(1/3)*x2+x+1

Sen2 x +x2+2xSenx



7. DESARROLLO DE PRODUCTOS
En CAS se pueden desarrollar productos de polinomios de una variable, incluyendo productos notables. La expresión a operar se ingresa en la zona INPUT y luego se hace clic sobre el botón EXPAND

Ejemplo: desarrolle (4x-1)3



Ejercicios: Opere las siguientes expresiones:

(x-2)4

(3x-2) (2x-4)

(Sen x-Tan x)4


8. SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES

CAS tiene la capacidad de simplificar una expresión al máximo posible, también en modo entero. Para ello, se debe ingresar la expresión a simplificar en la zona INPUT y luego hacer clic sobre el botón SIMPLIFY

Ejemplo:  Simplifique:



Ejercicios: Simplifique:




9. SOLUCION DE ECUACIONES DE UNA VARIABLE
El software CAS tiene la capacidad de resolver todo tipo de ecuación de una variable. Para ello, la ecuación se lleva a la forma f(x)=0, ingresando sólo el lado izquierdo y se oprime el botón SOLVE. CAS  calcula todas las soluciones posibles, incluyendo soluciones complejas.

Ejemplos: Resolver x2+5x-6=0



Resuelva:  (X-1)(2X+2)=0

Ejercicios: Resuelva las siguientes ecuaciones






10. LIMITES DE FUNCIONES
CAS puede operar con los siguientes tipos de límites: por ambos lados (definición formal de límite), por la derecha, por la izquierda, en menos infinito y en más infinito.

Se debe ingresar la función a analizar en la zona de INPUT, marcar (hacer click sobre el botón) SHOW OPTIONS y luego click sobre el botón LIMIT.

La ventana de trabajo que aparece es la siguiente:


Se selecciona el tipo de límite que se desea obtener y se ingresa el valor donde será evaluado. Para ver el resultado, se hace click sobre el botón ENTER.

Esta opción trabaja con límites que típicamente parecen no tener respuesta y produce la solución correcta, si existe. Por ejemplo, en el caso de la conocida función f(x)=sen x /x cuando x tiende a cero, la solución es:




Ejercicios: Evalúe los siguientes límites:









11. DERIVADAS DE FUNCIONES
CAS puede determinar derivadas de funciones de una variable para cualquier orden. Si no se especifica el orden, automáticamente se calcula la primera derivada. La función a diferenciar se ingresa en la zona INPUT y  se hace click sobre el botón  DIFFERENTIATE
Si se desea especificar un orden que no sea uno, se hace click también en el botón Show Options antes de hacer click sobre el botón Differentiate. Para obtener el resultado, se hace click sobre el botón ENTER.

Ejemplo: encuentre la primera derivada de  f(x)=sen x /x






Ejercicios:
Obtenga las derivadas de las siguientes funciones:






12. ANTIDERIVADAS (INTEGRALES) DE FUNCIONES:

El CAS puede obtener la antiderivada de una función, tanto en forma indefinida (el resultado es una función); en forma simbólica (una función en términos de otras variables) , como numérica (el resultado final es una cantidad). La opción por default es indefinida. Si se desea otro tipo, se deberá  marcar el botón SHOW OPTIONS . La ventana que aparece es la siguiente:




En caso de ser una integral definida, se deben ingresar los límites, inferior y superior. El límite inferior no puede ser mayor que el límite superior. Finalmente, se hace click sobre el botón ENTER

Por ejemplo, la famosa integral:


Cuando se resuelve en forma indefinida produce el siguiente resultado:


Sin embargo, la misma integral resuelva entre 0 y 1 (es decir, en forma definida, produce como resultado: π/4

Ejercicios: Resuelva las siguientes integrales:

13. EXPANSION DE SERIES
Dada una función cualquiera, esta opción produce una expansión alrededor de un valor de x. La expansión es de tipo generalizado o Taylor, según el tipo de función.
Esto se utiliza comunmente para convertir una expresión que no se puede integrar a otra equivalente (polinomial) que sí sea integrable.

Cuando se elige esta opción, se debe ingresar la siguiente información: Número de términos deseado y el punto de expansión. Al finalizar de ingresar estos datos, se hace click sobre el botón ENTER.

Ejemplo: construya una expansión de f(x)= sen x, alrededor de x=0




14. GRAFICAS DE FUNCIONES
No podía faltar en el CAS una herramienta para graficar funciones. Se ingresa la expresión y se hace click sobre el ícono:



La ventana de gráficas tiene el siguiente aspecto:







Se pueden definir los siguientes valores: x mínimo, x máximo, y mínimo, y máximo. Además, es posible desplazar la gráfica hacia abajo, hacia arriba, a la izquierda a la derecha y también cambiarle la escala. Para ello se hace click sobre los íconos respectivos. Si se hacen cambios en algunos de los datos, se hace click sobre el botón GRAPH para que se redibuje la gráfica. Aunque no hay utilidad para imprimir directamente la gráfica, se puede usar las funciones de Windows para copiar la gráfica y pegarla en otro documento donde se pueda enviar a la impresora.

Lamentablemente esta opción no permite graficar funciones de tipo paramétrico ni polar, pero con una conversión apropiada, se pueden convertir a la forma rectangular. Existen programas especializados que grafican todo tipo de relaciones (por ejemplo: Graph-matic).

Ejercicios:
Grafique las siguientes funciones:



lunes, 24 de marzo de 2014

RESOLUCION DE PROBLEMAS DE PROGRAMACION LINEAL CON SCIENTIFIC NOTEBOOK



RESOLUCION DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL EN SCIENTIFIC NOTEBOOK
Ing. Luis Manfredo Reyes


Scientific Notebook es un producto de MacKichan Software. Es un software para cálculo matemático combinado con un procesador de texto. Permite realizar cálculos numéricos y simbólicos de todo tipo, utilizando como núcleo, el motor de cálculo MU-PAD y en forma alternativa el Maple.

Una de las muchas capacidades del software  Scientific Notebook es la de resolver problemas de programación lineal. La función objetivo puede tener varias variables y todas las restricciones necesarias para las condiciones del ejercicio.

Se asume que el lector posee conocimientos del uso básico del paquete. En caso contrario se recomienda el siguiente artículo: http://reyesestadistica.blogspot.com/2013/04/curso-corto-sobre-paquete-scientific.html

El procedimiento a seguir es el siguiente:
1.    Insertar un “display” . Hay tres formas de hacerlo: Oprimir Control+D, en el menú principal 



seleccionar INSERT->display, o bien oprimir el botón 
2.       Ingresar la función objetivo dentro de la caja del display y oprimir ENTER
3.       Ingresar las restricciones, una por línea y oprimir Enter en cada una
4.       En el menú principal seleccionar COMPUTE-->SIMPLEX


Se debe seleccionar la opción deseada de proceso
Dual: un caso de dualidad en la función objetivo
Feasible? Determinar si existe o no solución factible
Maximize: maximizar la función objetivo
Minimize: minimizar la función objetivo
Standarize: convertir las inecuaciones a la forma “menor o igual a”

Los ejercicios que se usan en el presente documento fueron tomados de la siguiente publicación: http://www.slideshare.net/renevive/manual-programacion-lineal-julio-20
Muchas gracias!!

EJERCICIO 1:

EJERCICIO 2:
 
Ejercicio 3:

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EJERCICIOS PARA QUE EL USUARIO RESUELVA: