UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS
FACULTAD DE CIENCIAS QUIMICAS Y FARMACIA
MÉTODOS DE CÁLCULO DEL NÚMERO
π
Luis Manfredo Reyes Chávez
Guatemala, Marzo de 2009
CONTENIDO:
Introducción
Resumen Histórico
Métodos Tradicionales (Precomputacionales)
Método “Modernos” (Computacionales)
Curiosidades
Bibliografía
Anexos
INTRODUCCION:
Desde los inicios de la humanidad, ha existido el interés por descubrir las relaciones entre diversos aspectos tanto naturales como sociales y científicos, que permitan entender el funcionamiento del Universo
Los matemáticos de todos los tiempos no han escapado a esta tendencia, y han centrado su atención en uno de los fenómenos más fascinantes de la matemática: la relación entre el perímetro y el diámetro de la circunferencia (π )
En este documento, se realiza un repaso histórico de esta cantidad, así como de los diversos intentos para calcularlo. También se agregan al final algunas curiosidades al respecto del número.
El número π es un número irracional, lo que significa que no puede expresarse como fracción de dos números enteros, lo cual fue demostrado por Johann Heinrich Lambert en 1761 (o 1767).
También se sabe que es un número trascendente , es decir que no es la
. En el siglo XIX el matemático Ferdinand Lindemann
demostró este hecho, cerrando con ello definitivamente la permanente y ardua investigación acerca del problema de la cuadratura del círculo
indicando que no tiene solución.
RESUMEN HISTÓRICO
La necesidad de calcular la longitud de una circunferencia conociendo su diámetro fue común en varias civilizaciones antiguas, por lo cual no es de sorprender que
desde desde tiempos antiguos ya existan referencias al valor de π, si bien no se le conocía con ése símbolo ni su valor exacto.
1650 AC: En el Papiro Rhind, el escriba Ahmes calcula el área de un círculo de diámetro 9 usando π = 3,1405.
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300 AC: en la Biblia se dan instrucciones para la fabricación de un “mar” que era un cilindro de 30 codos de circunferencia y 10 de diámetro, con lo cual se concluye que π=3 (Primera de Reyes, 7:23)
215 AC: Arquímedes de Siracusa, descubre la tradicional fórmula del área de un círculo, y calculó pi con un valor entre 3,1412 y 3,1428. Un éxito histórico.
El método usado por Arquímedes polígonos regulares de n-lados en circunferencias y calcular el perímetro de dichos polígonos. Arquímedes empezó con hexágonos circunscritos e inscritos, y fue doblando el número de lados hasta llegar a polígonos de 96 lados.
200 AC: El matemático Chino Wang Fang definió el valor de pi entre 3,1410 y 3,1427 que, a pesar de ser muy bueno, no lo fue tanto como el de Arquímedes.
150 AC: Claudio Ptolomeo calculó pi como 377/120
1500 DC Al Cashir, quien vivió en la antigua Samarcanda, usando un polígono inscrito de 2,832 lados, obtuvo pi coon 17 cifras decimales.
1706: La notación con la letra griega “π” proviene de la inicial de las palabras de origen griego "περιφέρεια" (periferia) y "περίμ" (perímetro) de un círculo
. Esta notación fue usada por primera por el matemático galés William Jones
1748 El uso de la letra π fue popularizada por el matemático Leonhard Euler
ya que la adoptó en su obra «Introducción al cálculo infinitesimal». Fue conocida anteriormente como constante de Ludolph (en honor al matemático Ludolph van Ceulen ) o como constante de Arquímedes (OJO: no se debe confundir con el
número de Arquímedes).
Historia Moderna
Desde el aparecimiento de las primera computadoras, en 1946, se dedicaron muchos esfuerzos a los cálculos utilizando mayor cantidad de decimales, lo que se convirtió en una forma de medir la potencia de las máquinas, estos se pueden resumir en la siguiente tabla:
METODOS PRECOMPUTACIONALES PARA CALCULO DE π
Los métodos basados en series infinitas se aplicaron en una gran gama de estilos. Aunque todos ellos tienen la ventaja de no requerir cálculos complicados, tienen una lenta convergencia, es decir que se necesitan muchos términos para obtener un valor apropiado.
METODO DE VIETA (Siglo XVI)
Este método fue usado en 1609 por Ludolf van Ceulen para calcular el valor de pi con 35 decimales, por lo que a pi se le llamaba “Constante de Ludolf”
METODO DE WALLIS
Producto de Wallis
MÉTODO DE LEIBNITZ-GREGORY
Aunque en realidad fue descubierto antes, se le llama así por haber sido pulido y publicado por Lebnitz y Gregory por separado.
La forma de la serie es:
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MÉTODO DE EULER:
Aunque aparentemente Pi y los números primos no tienen relación, Euler descubrió una curiosa y construyó la siguiente serie que aproxima el valor de PI:
MÉTODO FIBONACCI
De forma parecida al método de Euler, alguien descubrió que los elementos de una sucesión Fibonacci impar pueden aproximar a PI
MÉTODO DE NEWTON
Aunque Newton también desarrolló una fórmula para el cálculo de PI, él mismo reconoció que no le convencía. La fórmula es la siguiente:
MÉTODO DE MACHIN
MÉTODO POR INTEGRACION:
Un clásico ejercicio en cursos de cálculo integral, en el tema de integrales de funciones trigonométricas inversas, es el siguiente:
MÉTODOS COMPUTACIONALES.
La mayoría de métodos computacionales utilizan recursiones (repeticiones de cálculos) para aproximar PI. Vale destacar aquí el método usado para obtener el número record de cifras de PI utilizado por Kanada y Takahashi.
MÉTODO DE GAUSS-LEGENDRE
Inicialmente se definen los siguientes datos:
Y se aplica la siguiente recursión:
El valor de pi se aproxima entonces por la siguiente operación:
ALGORITMO DE BORWEIN
Se definen inicialmente los siguientes valores:
Se realizan las siguientes operaciones de recursion:
Y la aproximación final es la siguiente:
METODO DE KANADA Y TAKAHASHI
Es una modificación de la fórmula de Machin, hecha por K. Takano
Este método fue usado para calcular pi y romper el record de cifras decimales actualmente establecido, utilizando un supercomputador HITACHI con 128 procesadores y un terabyte de memoria.
CURIOSIDADES (FUENTE: WIKIPEDIA)
En la película “PI, fe en el caos”, un genio matemático descubre el número de 256 cifras que coresponde al nombre secreto de Dios, pero para evitar que caiga en manos de una sociedad secreta de judíos, decide borrarlo de su mente taladrándose el cerebro
El 4 de octubre de 2006, el japonés Akira Haraguchi rompió el record mundial de recitar de memoria pi. a la 1:30 de la madrugada, y tras 16 horas y media, Haraguchi volvió a romper su propio record recitando 100.000 dígitos del número pi, realiizando apenas cada dos horas una pausa de horas de 10 minutos para tomar aire.
En inglaterra apareció un “Crop Circle” (círculo en el maíz) que al ser investigado por científicos Estado Unidenses se reveló que su significado era el de π (pi)
Existe un vehículo Mazda 3 modificado, al que se le añadieron 27 cifras de π después del 3 .
El 22 de julio (22/7) es el día dedicado a la aproximación de π
El 14 de marzo (3/14 en formato de fecha de Estados Unidos) se celebra también como el "Día de π" (Casualmente es el cumpleaños de Einstein)
.
Los usuarios del buscador A9.com que eligen su sitio de compras como amazon.com les
ofrecen descuentos de (π/2)% en sus compras.
El grupo musical The Stone Roses menciona π en una canción escrita denominada "Something Tells Me". La canción acaba con una letra como: "What's the secret of life? It's 3.14159265, yeah yeah!!".
El primer millón de cifras de π y su inversa 1/π se puede consultar en el sitio del
Proyecto Gutenberg
La forma de numerar las versiones del programa de levantado de texto “TEX” de
Donald Knuth se realiza según los dígitos de π, la versión del año 2002 se identificó como 3.141592
En el Proyecto SETI, se usa éste número en la serie de señales enviadas por la tierra con el objeto de ser identificados por alguna civilización inteligente extraterrestre, junto con una secuencia de números primos
Existen programas en internet que buscan tu número de teléfono en las 50.000.000 primeras cifras de π
En algunos lenguajes de programación se pueden averiguar tantos dígitos como se desee para π con simplemente emplear expresiones como:
RealDigits[ N[ Pi, 105]] en «Mathematica».
Existe una canción de Kate Bush llamada "Pi" en la cual se recitan más de veinte dígitos decimales del número.
En Argentina, el número telefónico móvil para emergencias en estaciones de trenes y subterráneos es el número Pi: 3,1416.
BIBLIOGRAFIA:
Wikipedia: Número PI:
http://en.wikipedia.org/wiki/%CE%A0
Datos de John Machin
http://en.wikipedia.org/wiki/John_Machin
Datos de Ferdnand Lindemann
http://en.wikipedia.org/wiki/Ferdinand_von_Lindemann
Software para calcular PI:
http://en.wikipedia.org/wiki/Software_for_calculating_%CF%80#Software_for_calculating_.CF.80
Proyectgo Gutenberg :
http://www.gutenberg.org/wiki/Main_Page
Brain, Lolita: Pi, un Capricho de la Naturaleza
Asimov, Isaac, Un trozo de PI
http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibpi.html
http://webs.adam.es/rllorens/pidoc.htm
http://es.wikipedia.org/wiki/D%C3%ADa_de_%CF%80
http://www.angio.net/pi/bigpi.cgi
........ busca tu número de celular o tu fecha de nacimiento en pi
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