Integrales Dobles aplicadas en Estadística

UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS

FACULTAD DE INGENIERIA

AREA DE ESTADISTICA

INTEGRALES DOBLES APLICADAS A LA ESTADISTICA

Ing. Luis Manfredo Reyes

Profesor Titular, area de Estadística

GUATEMALA, AGOSTO 2003

INTRODUCCION:

Las integrales dobles surgen con la necesidad de resolver algunos problemas de la física, la matemática y la estadística. Particularmente, en el caso de la estadística, la evaluación de variables aleatorias bidimensionales contínuas requiere la resolución de integrales dobles definidas. Es por eso que se considera importante y a la vez necesario efectuar una revisión de la metodología necesaria para resolver este tipo de integrales.

ORIGEN DE LAS INTEGRALES DOBLES

Suponiendo que en un experimento físico un cuerpo parte del reposo en un tiempo t=0, y que solamente se conoce la aceleración que un cuerpo posee, cómo es posible determinar la distancia recorrida?

Recordando los principios básicos de la cinemática:

Distancia recorrida=rapidez*tiempo

Rapidez instantánea=derivada de distancia respecto al tiempo

Aceleración instan=derivada de rapidez respecto al tiempo

Si solamente se conoce la aceleración, el primer paso sería determinar la rapidez, aplicando la operación inversa de la diferenciación, que es la antidiferenciación:

En un segundo paso, si conocemos la rapidez, es posible encontrar la distancia recorrida, aplicando otra integración:

Esto se puede representar en una sola operación:

que se conoce como una integral doble

Las integrales dobles se pueden plantear respecto a una sola variable, como en el ejemplo anterior, o bien respecto a dos variables distintas, que usualmente se denominan x,y.

TIPOS DE INTEGRALES DOBLES

Al igual que en el caso de una sola variable, las integrales dobles pueden ser: Indefinidas, en cuyo caso el resultado final es una función más una constante, o bien definidas, donde existen límites específicos de integración y el resultado final es una cantidad o número.  En aplicaciones estadísticas, las integrales que se deben evaluar algunas veces son dobles y definidas, por lo que se le dará prioridad a este tipo.

METODO PARA RESOLVER INTEGRALES DOBLES

Para resolver una integral doble de la forma:

Se aplica un principio semejante al de la regla de la cadena: “resolver primero la integral interna y luego con el resultado de ésta, la integral externa”.

Algunos detalles importantes son los siguientes:

• Todas las reglas, teoremas, técnicas y trucos de integración son válidos
• Si se integra respecto a una variable, la otra se considera constante
• Se puede cambiar el orden del diferencial (dx, dy) para facilitar el proceso, y al final se debe obtener el mismo resultado.

Ejemplos resueltos:

Ejemplo 1. Evalúe la siguiente integral:

Paso 1: Identificar la integral interna

Paso 2: Resolver la integral interna, dejando constante x  y variable y

Paso 3: Resolver la integral externa, utilizando el resultado de la integral interna

Ejemplo 2:

Resuelva:

Paso 1: Identificar la integral interna:

Paso 2: Resolver la integral interna, dejando constante x  y variable y:

Paso 3: Resolver la integral externa, utilizando el resultado de la interna:

Ejemplo 3:

Resuelva:

Aunque en la integral interna los límites ahora son variables, el procedimiento que se sigue es el mismo

Paso 1: Identificar la integral interna:

Paso 2: resolver la integral interna, dejando constante x y variable y

Paso 3: usando como integrando el resultado de la integral interna, resolver la externa

En este caso hay que aplicar sustitución por U en el primer término de la siguiente manera: 

 Si U=x²+1, dU=2x dx y dU/2=x dx

También se puede desarrollar el binomio cuadrado del primer término

 x(x²+1)²=x( x⁴+2x²+1)=x⁵+2x³+x

Ejemplo 4:

Evalúe:

En este ejemplo los límites simbólicos están para la variable y, pero el proceso es el mismo

Paso 1: Identificar la integral interna

}

Paso 2: Resolver la integral, dejando constante a y,   y variable a  x

Paso 3: Resolver la integral externa, usando el resultado de la integral interna como integrando: (en el segundo término hay que usar integración por partes o tabla)

BIBLIOGRAFIA:

Leithold, Louis. El Cálculo 7.

Zill, Denis. Cálculo con Geometría Analítica

Swokowski, Earl. Cálculo con Geometría Analítica