Teoría Axiomática de la Probabilidad

TEORIA AXIOMATICA DE LA PROBABILIDAD

MIRIAM DEL CARMEN ALVARADO AREVALO

I.                INTRODUCCION

            La probabilidad indica el grado de certidumbre o certeza de un suceso o fenómeno estudiado, en la investigación científica  existen muchos fenómenos en los cuales es necesario determinar la probabilidad de que un evento(s) ocurra(n)  o dejen de ocurrir, para lo  cual el estudio de este campo, es necesario, además tiene aplicaciones muy importantes en investigación; dado que es base para la inferencia estadística que permite el estudio de muestras con el objetivo de inferir o extrapolar características de estas a una población.

            En el presente trabajo se revisa la teoría de probabilidades, específicamente los axiomas que la fundamentan y se incluyen algunos problemas resueltos y propuestos sobre esta materia.

II.    TEORIA AXIOMATICA DE LA PROBABILIDAD

A.        DEFINICIONES PREVIAS

1.            PROBABILIDAD:  Es una medida de las posibilidades de

que  ocurra un suceso futuro. Es el estudio de experimentos aleatorios o libres de determinación.            Probabilidad de un suceso es la razón entre el número de casos favorables y el número total de casos posibles, siempre que nada obligue a creer que alguno de estos casos debe tener lugar de preferencia a los demás, lo que hace que todos sean, para nosotros, igualmente posibles.  Está es la llamada definición  clásica, el tratamiento moderno de la teoría de la probabilidad es puramente axiomático.  Esto significa que las probabilidades de nuestros eventos pueden ser perfectamente arbitrarias, excepto que ellas deben satisfacer ciertos axiomas que se enuncian posteriormente.

      2.        HISTORIA DE LA PROBABILIDAD

En 1654, Antoine Chevalier de Méré, quién tenía un particular interés por los juegos de azar, planteó a Blaise Pascal y a Pierre de Ferrmat, un dilema sobre un juego que consistía en lanzar un par de dados  24 veces. El problema consistía en decidir si apostar o no a que durante los 24 lanzamientos ocurrirían al menos un par de seises.  De las discusiones entre Pierre de Fermat y Blaise Pascal surgieron los principios fundamentales de Teoría de Probabilidad planteados por primera vez, no obstante que en los siglos XV y XVI algunos italianos y alemanes habían discutido la cuestión en algunos problemas de juegos.
         En 1657 Christian Huyges, quién fuera profesor de Leibeniz, examinó la correspondencia entre Fermat y Pascal y de ahí publicó el primer libro sobre Teoría de Probabilidad titulado De Rationciniis in Ludo Aleae, que fué un tratado sobre problemas asociados con juegos de azar. Debido al interés qué se tenía sobre los juegos de azar, la Teoría de Probabilidad se volvió rápidamente muy popular, de manera que el tema se abordó mucho durante el siglo XVII; en ese período resaltan las contribuciones de Jakob Bernoulli (1654-1705) y de Abraham de Moivre (1667-1705). Posteriormente, en 1812, Pierre de Laplace (1749-1827) introdujo nuevas ideas y técnicas matemáticas en su libro Theorie Analytique des Probabilités. Antes de Pierre Pascal, la Teoría de Probabilidad solamente estudiaba la aleatoriedad en los juegos, por el contrario Pascal aplicó probabilidades a muchas áreas como genética, psicología y economía. Pascal desarrolló además una teoría de errores.
         En los tiempos de Pascal hubo muchos que participaron en la teoría de la probabilidad y sus aplicaciones. Cabe mencionar al naturalista  Buffon, quien planteó el famoso experimento que lleva su nombre, la aguja de Buffon, que consiste en representar el lanzamiento de una aguja sobre un cuadrado.
         El Marqués de Condorcet (1743-1794) fue un líder político durante la Revolución Francesa que estaba interesado en aplicar Teoría de Probabilidades a economía y política. El calculaba la probabilidad de que un jurado que decidiera por mayoría, tomará una decisión correcta si cada miembro del jurado tenía la misma probabilidad de tomar la decisión correcta
         En 1894, Karl Pearson analizó un gran número de resultados de una determinada ruleta no justa (con distribución no uniforme) y planteo los Métodos de Casinos. Pearsons sugirió utilizar los casinos como un laboratorio de teoría de probabilidades y realizar experimentos en ellos; esto condujo a Pearson a descubrir la prueba Chi-Cuadrado.
         Para los experimentos que sugería Pearson se requerían números aleatorios. Esto llevó a L.H.C Tippet a encontrar métodos para generar números aleatorios y en 1927 publicó una tabla con alrededor de 40,000 números aleatorios (ó seudo-aleatorios). Años más tarde Von Neuman plantea el uso de los métodos de Pearson pero utilizando números aleatorios en combinación con funciones de distribución para simular procesos, naciendo así los famosos Métodos MonteCarlo aplicados hasta la fecha.

         En 1933, un matemático ruso, A. Kolmogorov desarrolló un enfoque axiomático de la Teoría de Probabilidad en su libro traducido al inglés, en 1950, Foundations of Probability Theory.

            2.         ESPACIO MUESTRAL Y EVENTOS: El conjunto S de todos los resultados posibles de un experimento dado se llama el “espacio muestral”.  Un resultado particular, esto es, un elemento de S, se llama un punto muestral o muestra.  Un evento A es un conjunto de resultados o, en otras palabras, un subconjunto del espacio muestral S.  El evento {a } que consta de una muestra simple a € S se llama evento elemental. El conjunto vacio Ø y S de por sí son eventos: el Ø algunas veces se denomina el evento imposible (o imposibilidad), y S el evento cierto o seguro. 

            Podemos combinar eventos para formar nuevos eventos, utilizando las diferentes operaciones con conjuntos:

a.            A U B es el evento que sucede si y sólo si A o B o ambos suceden.

b.            A ∩ B es el evento que sucede si y sólo si A y B suceden

simultáneamente.

            c.         A^c  (complemento de A), es el evento que sucede si y sólo si A no sucede.

            Dos eventos A y B son llamados mutuamente exclusivos si son disyuntos, esto es, si  A ∩ B = Ø. En otras palabras, mutuamente exclusivos si no pueden suceder simultáneamente.

            3.         ENFOQUES  DE PROBABILIDAD

                        a.         El principio de razón insuficiente:  El principio de razón insuficiente o de indiferencia, conocido también  como modelo clásico o probabilidad a priori,  fue utilizado por el famoso matemático Jacobo Bernouilli (1654 -1705) para definir probabilidades.   Supóngase que se lanza un dado no cargado al aire y que se pregunta a un alumno cuál es la probabilidad de que salga un 2.  Probablemente contestaría 1/6. Esto es aplicando este principio.

            Dicho principio señala que cuando no hay fundamentos para preferir uno de los posibles resultados o sucesos a cualquier otro, todos deben considerarse que tienen la misma probabilidad de ocurrir.

            El matemático francés P.S Laplace (1749 -1827) estableció este principio en su libro A Philosophical Essay on Probabilities de esta manera: “ La teoría de la probabilidad consiste en reducir todos los elementos de la misma clase a cierto número de casos igualmente posibles, es decir, que nosotros debemos estar igualmente indecisos ante su existencia  y para determinar la cantidad de casos favorables para el suceso cuya probabilidad se busca.  La relación de este número con el de todos los casos posibles, es la medida de la probabilidad, que es, por tanto, sencillamente una fracción cuyo numerador es el número de casos favorables y cuyo denominador es el número de todos los casos posibles “.

            Este principio de razón insuficiente tiene varias características, una de las cuales es que supone una simetría de los sucesos.  Así, se habla de un dado no cargado, una moneda no cargada, etc.  La otra es que se basa en razonamientos abstractos y no depende de la experiencia.

            La hipótesis de la simetría reduce el campo de aplicación de este principio porque,  muchos resultados de los problemas (tales como los de las finanzas, los negocios o economía) no tienen simetría.

           

            b.         El enfoque de la primera teoría de la frecuencia para explicar la probabilidad: Conocido también como modelo de frecuencia relativa, a posteriori o empírico.  La bibliografía básica para este enfoque es la obra del matemático ruso A.N Kolmogorow, Foundations of the Theory of Probability (1933).  Para explicarlo, se usará un ejemplo, en relación a los experimentos de lanzar una moneda al aire.  Existen dos resultados posibles (sucesos), E₁ (cara) y E₂ (cruz).  Si se tira la moneda 30 veces y se anotan los resultados  teniendo 14 veces caras, se puede obtener una probabilidad a posteriori (m/n) sobre el número de veces que cae cara siendo 14 el numerador (m) y 30 el denominador (n), se obtiene 14/30 = 0.47 que es la frecuencia relativa de caras en 30 tiradas.

            Se debe destacar que las fluctuaciones de las frecuencias relativas de un suceso varían considerablemente cuando n es pequeño, pero cuando n es grande, la amplitud de las fluctuaciones disminuye; la probabilidad de un evento A es decir P(A) calculada por el modelo clásico y la frecuencia relativa del suceso A, m/n no son la misma cosa.  Sin embargo, cuando n es grande y P(A) es desconocido, m/n se utiliza como una estimación de P(A) y se llama probabilidad de A.

            En relación con esta definición de probabilidad, se debe señalar que:

                        m/n ≤ 1,  si el número de presentaciones del suceso es cero, entonces m=0  y  m/n=0, por lo tanto 0 ≤ m/n ≤ 1, por lo tanto 0 ≤ P(A) ≤ 1.

            Las características de este enfoque son:

• Supone una gran cantidad de ensayos
• Supone la regularidad estadística
• La P(A) se estima por la frecuencia relativa de A
• Está basada en la experiencia.

c.   El enfoque de la segunda teoría de la probabilidad de la frecuencia: Es

semejante al primer enfoque, en el hecho de comenzar con la frecuencia relativa m/n, del suceso A.   Pero difiere de la primera en lo siguiente: aquella asigna un número P(A) al suceso y lo llama probabilidad del suceso A.  Esta P(A) tenía la característica de que cuando la cantidad de ensayos era grande, m/n y P(A) eran prácticamente iguales.

            El segundo enfoque define la probabilidad del suceso A como el límite de m/n cuando n tiende a infinito.  Entonces se puede escribir:

            P(A)= m/n cuando nà ∞

            En la primera perspectiva P(A) es una idealización de la regularidad estadística de la frecuencia relativa de un suceso.  La segunda requiere la existencia de un límite para la frecuencia relativa de un suceso.

            Generalmente al usar el enfoque de la teoría de la frecuencia, se utiliza el primero.

            Los tres enfoques mencionados se conocen como “objetivos”.

            d.         El enfoque subjetivo: Este enfoque ha sido presentado a los estadísticos por el Profesor Savage, como se indica a continuación:

            “Un punto de vista personalista sostiene que la probabilidad mide la confianza que tiene un individuo determinado en la verdad de una proposición particular, por ejemplo, la proposición de que mañana llueva.   Estos puntos de vista postulan que el individuo en cuestión de algún modo es “razonable” pero no niegan la posibilidad de que dos individuos razonables con la misma prueba puedan tener diferentes grados de confianza en la verdad de la misma proposición “.

            El Profesor Savage emplea el término “personalista” en lugar de subjetivo.

Como señala la cita anterior, la probabilidad de un suceso A se interpreta como una medida de la confianza que una persona razonable asigna al suceso A.

            Este enfoque es muy flexible y se puede aplicar en una variedad de situaciones, se utiliza cuando se desea asignar probabilidad a un evento que nunca ha ocurrido, no hay datos en que basarse y se deben analizar las opiniones y creencias para obtener una estimación subjetiva.  Por ejemplo: la probabilidad de que una mujer sea elegida como presidente de Guatemala.

B.        AXIOMAS DE PROBABILIDAD

            Sea S un espacio muestral, sea ε la clase de eventos y sea P una función de valores reales definida en ε.  Entonces P se llama función de probabilidad, y P(A) es llamada probabilidad del evento A si se cumplen los siguientes axiomas:

ü  [P1]  Para todo evento A, 0 ≤ P(A) ≤ 1

ü  [P2]  P(S)= 1

ü  [P3]  Si A y B son eventos mutuamente exclusivos, entonces

P (A U B)= P(A) + P (B)

ü  [P4]  Si A₁, A₂,…. es una serie de eventos mutuamente exclusivos, entonces

P (A₁ U A₂ U….) = P(A₁)+ P(A₂) +……..

            Las siguientes observaciones conciernen al orden en que están los axiomas [P3]  y [P4].  Ante todo, al utilizar [P3] y la inducción matemática se puede probar que para eventos mutuamente exclusivos A₁, A₂,…. An

                        P (A₁ U A₂ U….U An) = P(A₁)+ P(A₂) +……..+ P(An)

Se debe enfatizar que [P4] no proviene de [P3] ni siquiera la anterior demostración se cumple para todo entero positivo n.  Sin embargo, si el espacio muestral S es finito, entonces claramente el axioma [P4] es superfluo.

            Los siguientes teoremas se deducen directamente de los axiomas anteriores.

1.            Teorema 1: Si P(Ø)=0

Demostración: Sea A un conjunto, entonces A y Ø son disyuntos y AUØ = A

Por [P3],  P(A)= P(AUØ)= P(A)+P(Ø), restando P(A) de ambos lados obtenemos el resultado.

2.            Teorema 2: Si A^c es el complemento de un evento A, entonces

P(A^c)= 1 – P(A)

Demostración: El espacio muestral S se puede descomponer en los eventos A y A^c  mutuamente exclusivos, esto es, S= A U A^c. Por [P2] y [P3] se obtiene: 1 = P(S) = P(A U A^c) = P(A) + P(A^c) de lo cual se desprende el resultado.

3.            Teorema 3:Si A  C B , entonces B se puede descomponer en los

eventos A y B\A mutuamente exclusivos.  Así: P(B) = P(A) + P(B\A), con lo cual  se comprueba el enunciado puesto que P(B\A) ≥ 0.

4.            Teorema 4: Si A y B son dos eventos, entonces

P(A\B) = P(A) – P(A ∩ B)

Demostración:  A se puede descomponer en los eventos mutuamente exclusivos A\B y A ∩ B: esto es, A= (A\B) U (A ∩ B).  Por consiguiente, por

            [P3], P(A) = P (A\B) + P(A∩ B) de lo cual se obtiene el resultado.

5.            Teorema 5: Si A y B son dos eventos, entonces

P(A U B) = P(A)+ P(B) – P(A∩ B)

Demostración: Obsérvese que AUB se puede descomponer en los eventos A\B y B mutuamente exclusivos; esto es, AUB= (A\B)UB.  Entonces por [P3] y el teorema 4,

                        P(AUB)= P(A\B)+ P(B)

                                     =P(A) – P(A∩ B) + P(B)

                                     = P(A) + P(B) – P(A∩ B) , que es el resultado buscado.

Aplicando el teorema anterior por segunda vez obtenemos el Corolario 6: Para los eventos A,B y C.

P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)–P(A∩B)-P(A∩C) – P(B∩C) + P(A∩B∩C)

C.        APLICACIÓN DE LA TEORIA AXIOMATICA DE LA PROBABILIDAD

            1.         Espacios Finitos de Probabilidad

Sea S un espacio muestral finito; digamos, S= {a₁, a₂….., a_n}.  Un espacio finito de probabilidad se obtiene al asignar a cada punto a_{1 €}  S un número real pi, llamado probabilidad de ai, que satisface las propiedades siguiente:

a.            cada pi es no negativo, pi ≥0

b.            la suma de los pi es uno, p₁ +p₂+…..+p_n =1

La probabilidad P(A) de un evento A, se define entonces como la suma de las probabilidades de los puntos A. 

            Ejemplo:

      Láncese tres monedas y obsérvese el número de caras que resulten; entonces el espacio muestral es S={0, 1,2,3}.  Obtenemos un espacio de probabilidad por medio de las siguientes asignaciones:

P(0)=1/8, P(1)=3/8, P(2)=3/8, P(3)=1/8

            Puesto que cada probabilidad es no negativa y la suma de las probabilidades es 1. Sea A el evento en que aparece una cara por lo menos y sea B el evento en que aparecen todas caras o todos sellos:

            A= {1,2,3} y B={0,3}

Entonces, por definición,  P(A)= P(1)+ P(2)+ P(3)= 3/8 + 3/8 + 1/8 = 7/8

                                                           P(B)= P(0) +P (3)= 1/8+1/8 = ¼.

           

            2.         Espacios Finitos Equiprobables

            Frecuentemente, las características física de un experimento sugieren que se asignen iguales probabilidades a los diferentes resultados del espacio muestral.  Un espacio finito S de probabilidad, donde cada punto muestral tiene la misma probabilidad, se llamará espacio equiprobable o uniforme.  En particular, si S contiene n puntos entonces la probabilidad de cada punto es 1/n.  Además, si un evento A contiene r puntos entonces su probabilidad es r(1/n)=r/n.  En otras palabras,  P(A)= número de elementos de A

                                                                      Número de elementos de S

o  P(A)=número de maneras en que el evento A puede suceder__________              

               Número de maneras en que el espacio muestral S puede suceder

Esta fórmula puede utilizarse solamente con respecto a un espacio equiprobable.

            La expresión “al azar” se usará solamente respecto a un espacio equiprobable; formalmente, la proposición “escoger un punto al azar de un conjunto S” significa que S es un espacio equiprobable, esto es, que cada punto muestral de S tiene la misma probabilidad.

            Ejemplo:

      Sean 2 artículos escogidos al azar de un grupo de 12 de los cuales 4 son defectuosos.  Sea

A={dos artículos defectuosos}  y B={dos artículos no defectuosos}

Hallar P(A) y P(B). Ahora

S puede suceder de   12     = 66 maneras, o número de veces  que se pueden

                                                    2       escoger 2 artículos entre 12

A puede suceder          4     = 6 maneras, o número de veces en que se pueden

                                                    2       defectuosos entre 4 defectuosos.

B puede suceder de     8  = 28 maneras, o número de veces en que se

                                     2    pueden escoger 2 artículos no defectuosos entre 8 no defectuosos.

Por consiguiente. P(A)= 6/66=1/11 y    P(B)+28/66=14/33

                        Pregunta: ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos un artículo

 sea defectuoso? Ahora  C= {un artículo por lo menos es defectuoso} es el complemento de B, esto es, C= B^c.  Así, por el teorema 2,

            P(C) = P(B^c) = 1 – P(B) = 1 – 14/33= 19/33

 La ventaja con que un evento de probabilidad p sucede, se define como la relación p: (1 –P). Así, la ventaja de que por lo menos un artículo sea defectuoso es 19/33 : 14/33  o 19 : 14.

           

            3.         Espacios Muestrales Infinitos

Sea S un espacio muestral infinito contable: es decir, S={a₁, a₂….}.   Como en el caso finito, se obtiene un espacio de probabilidad asignando a cada ai Є S  un número real pi, llamado su probabilidad, tal que

            (i) pi ≥ 0  y (ii) p₁ + p₂ …     =          pi=1

            La probabilidad P(A) de un evento A es entonces la suma de las probabilidades de sus puntos.

            Ejemplo:

      Considérese el espacio muestral S={1,2,3……∞} del experimento de lanzar una moneda hasta que aparezca una cara; aquí n denota el número de veces en que se lanza la moneda. Un espacio de probabilidad se obtiene designando

P(1)=1/2,   p(2)=1/4…. p(n)=1/2ⁿ,…..p(∞)=0

Como espacios maestrales no contables S, se puede mencionar aquellos de medida geométrica finita m(S) tales como longitud, área o volumen, y en los cuales un punto se selecciona al azar.  La probabilidad de un evento A, esto es, aquella en que el punto seleccionado pertenece a A, es entonces la relación de m(A) a m(S); o sea,

            P(A)= (longitud de A)/(longitud de S)   o P(A)= (área de A)/ (área de S) o

            P(A)=(volumen de A)/(volumen de S).

Se dice que un espacio de probabilidad tal es uniforme.

            Un espacio de probabilidad finito o infinito contable se dice que es discreto, y un espacio no contable se dice que es no discreto.

D.        PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA

            1.         Probabilidad Condicional

Sea E un evento arbitrario de un espacio muestral S con P(E) > 0.  La probabilidad de que un evento A suceda una vez que E haya sucedido o, en otras palabras, la probabilidad condicional A dado E, escrito P(A\E), se define como sigue:         P(A\E)= P(A∩E)/P(E)

            La P(A\E) en cierto sentido mide la probabilidad relativa de A con relación al espacio reducido E.

            En particular, si S es un espacio finito equiprobable y |A|denota el número de elementos de un evento A, entonces

            P(A∩E)= |A∩E|       P(E)= |E|       y así   P(A\E)=  P(A∩E)   =|A∩E|

                               |S|                        |S|                                         P(E)            |E|

Esto es,

Teorema 6  Sea S un espacio finito equiprobable con eventos A y E.  Entonces

            P(A\E)= número de elementos de A∩E

                              Número de elementos de E

O         P(A\E)= número de maneras en que A y E pueden suceder

                              Número de maneras en que E puede suceder

            Ejemplo: 

      Un hombre visita a un matrimonio que tiene dos hijos. Uno de los hijos , un niño, entra en la sala.  Hallar la probabilidad p de que el otro sea también niño si, a)       Se sabe que el otro hijo o hija es menor  y b) No se sabe nada del otro hijo.

El espacio muestral para el sexo (en orden de nacimiento) de los dos hijos es  S={MM, MF, FM, FF} con probabilidad de ¼ para cada muestra.

a)           El espacio muestral reducido consta de dos elementos, {MM, MF}, o sea p=1/2

b)           El espacio muestral reducido consta de tres elementos, {MM,MF,FM}

O sea p=1/3

           

            2.         Teorema de la Multiplicación para probabilidad condicional

Al multiplicar en cruz la ecuación anterior que define la probabilidad condicional y usar el hecho de que A∩E= E∩A, se obtiene la siguiente fórmula útil.

Teorema 7  P(E∩A) = P(E) P(A\E)

            Este teorema puede extenderse por inducción matemática como sigue:

Corolario 8 Para los eventos A₁, A₂,…., An, P( A₁∩ A₂∩…..∩ An)

            =P(A₁) P(A₂\ A₁) P(A₃\ A₁∩ A₂)…P(An\ A₁∩ A₂.....∩An_-1)

            Ejemplo:

      En una oficina hay tres mecanógrafas (A,B,C), las probabilidades  de cada una de ellas de estar ausente son; A=0.2, B=0.4 y C=0.3.  Hallar la probabilidad de que las tres mecanógrafas estén ausentes el mismo día?

P(A∩B∩C) =0.2x0.4x0.3=0.024.

A continuación se presenta otra aplicación del teorema de la multiplicación.

Una encuesta aplicada a ejecutivos se enfocó sobre su lealtad a la empresa. Una de las preguntas planteadas fue: “ ¿Si otra empresa le hiciera una oferta igual o ligeramente mejor a la de su puesto actual, permanecería usted con la empresa o se cambiaría?” Las respuestas de los 200 ejecutivos de la encuesta se clasificaron en forma cruzada con su tiempo de servicio en la empresa (tabla 1).  Al tipo de tabla que resultó, por lo general se le denomina tabla de contingencias.

TABLA 1

Lealtad de los ejecutivos y tiempo de servicio en la empresa

Lealtad	< 1 año	1 – 5 años	6 – 10 años	> 10 años	Total
Se quedaría	10	30	5	75	120
No se quedaría	25	15	10	30	80
Total	35	45	55	105	200

            ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar al azar un ejecutivo que es leal a la empresa (se quedaría) y que tiene más de 10 años de servicio?

      Obsérvese que ocurren dos eventos al mismo tiempo: el  ejecutivo permanecería en la empresa y tiene más de 10 años de servicio.  El evento A consiste en un ejecutivo que permanecería con la empresa a pesar de que otra compañía le hiciera una oferta igual o ligeramente mejor.  Para encontrar la probabilidad de que suceda el evento A, se consulta la tabla 1.  Se observa que hay 120 ejecutivos de los 200 de la encuesta que permanecerían con la empresa, de manera P(A)= 120/200, o sea  60.

            El evento B consiste en un ejecutivo con más de 10 años de servicio en la empresa.  De esta forma, P (B\A) es la probabilidad de que un ejecutivo con más de 10  años de servicio permanezca con la empresa a pesar de que otra compañía le haga una oferta igual o ligeramente mejor.  Consultando la tabla de contingencia, tabla 1, 75 de los 120 ejecutivos que se quedarían tienen más de 10 años de servicio, de manera que P(B\A) = 75 /120.

            Determinando la probabilidad de que un ejecutivo seleccionado al azar sea uno de los que se quedaría con la empresa y con más de 10 años de servicio, y utilizando la regla general de multiplicación:

            P(A y B)= P(A) x P(B\A)

                            = 120/200  x 75/120= 9000/24000= 0.375

            3.         Procesos Estocásticos Finitos y diagramas de Árbol

Una sucesión (finita) de experimentos en los cuales cada experimento tiene un número finito de resultados con probabilidades dadas se llama un proceso estocástico (finito).  Una manera conveniente de describir tal proceso y calcular la probabilidad de un evento se obtiene por el diagrama de árbol como se ilustra en la figura siguiente; el teorema de la multiplicación indicado anteriormente se usa para calcular la probabilidad de que el resultado representado por una trayectoria determinada del árbol suceda.           Ejemplo: Hay tres cajas:

o   Caja I contiene 10 lámparas de las cuales 4 son defectuosas

o   Caja II contiene 6 con 1 defectuosa

o   Caja III contiene 8 con 3 defectuosas

Al escoger una caja y luego sacar al azar una lámpara. ¿Cuál es la probabilidad p de que la lámpara sea defectuosa?  Aquí se realiza una serie de dos experimentos

a)           escoger una de las tres cajas

b)           escoger una lámpara que sea o defectuosa (D) o no defectuosa (N)

El diagrama de árbol siguiente describe el proceso y da la probabilidad de cada rama del árbol:

                                                                       2/5                              D

                                                                                                         

                                                       I                                                   N

                        1/3                                          3/5                             

                                                                                                          D

                                   1/3                  II        1/6                                         

                                                                                             

                                                                       5/6                              N

                     1/3                                            3/8                             

                                        III                                                 D        

                                                                      

                                                                       5/8                  N

La probabilidad de que una trayectoria determinada del árbol suceda es, según el teorema de la multiplicación, el producto de las probabilidades de cada rama de la trayectoria (probabilidad conjunta), o sea, que la probabilidad de escoger la caja I y luego una lámpara defectuosa es: 1/3 x2/5= 2/15.  Ahora como hay tres trayectorias mutuamente exclusivas que conducen a una lámpara defectuosa, la suma de las probabilidades de estas trayectorias es la probabilidad buscada:

p= (1/3x2/5)+(1/3x1/6) +(1/3x3/8)= 113/360

4.            Particiones y Teorema de Bayes

Supongamos que los eventos A₁, A₂…., An forman una partición de un espacio muestral S; esto es, que los eventos Ai son mutuamente exclusivos y su unión es S. Ahora sea B otro evento.  Entonces

            B= S∩B= (A₁UA₂U…..U An) ∩B = (A₁∩B) U(A₂∩B)U …….U (A_n ∩B)   

donde las Ai ∩B son eventos mutuamente exclusivos.  En consecuencia

            P(B)= P(A₁∩B) +(A₂∩B)+ …….+ (A_n ∩B)

Luego por el teorema de la multiplicación,

            P(B)=P(A₁)P(B\ A₁)+P(A₂)P(B\ A₂)+.....+P(An) P(B\An)    (1)

Por otra parte, para cualquier i, la probabilidad condicional de Ai dado B se define por

            P(Ai\B)= P(Ai∩B)/P(B)

En esta ecuación si se usa (1) para remplazar P(B) y usamos

 P(Ai∩B)= P(A₁)P(B\ A₁) para remplazar P(Ai∩B), se obtiene así el siguiente teorema:

            Teorema de Bayes (Teorema 8)       Supóngase que A₁, A₂…., An es una partición de S y que B es cualquier evento.  Entonces para cualquier i

            P(Ai\B)=  ____________________P(Ai)P(B\Ai)____________________

                              P(A₁)P(B\ A₁)+P(A₂)P(B\ A₂)+.............+P(An) P(B\An)

            Está fórmula se llama también “fórmula para la probabilidad de la hipótesis después de la prueba”

Ejemplo:

      Tres máquinas A, B y C producen respectivamente 50%, 30% y 20% del número total de artículos de una fábrica.  Los porcentajes de producción de estas máquinas son 3%, 4% y 5%.  Si se selecciona al azar un artículo y resulta ser defectuoso (X).  Hallar la probabilidad de que el artículo fue producido por la máquina A; esto es hallar P(A\X)

Por el teorema de Bayes,

            P(A\X)= ____________________P(A) P(X\A)_______

                             P(A) P(X\A) + P(B) P(X\B) + P(C) P(X\C)

                        = _______________ (0.50) (0.03)_______________

                                 (0.50)(0.03) + (0.30) (0.04) + (0.20 )(0.05)

                        =  15/37

En otras palabras, se divide la probabilidad de la trayectoria pedida por la probabilidad del espacio muestral reducido, o sea, aquellas trayectorias que conducen a un artículo defectuoso.

           

5.            Independencia

Se dice que un evento B es independiente de un envento A si la probabildad de que B suceda no está influenciada porque A haya o no sucedido.  En otras palabras, si            la probabilidad de B iguala la probabilidad condicional de B dado A: P(B)= P(B\A).  Ahora sustituyendo P(B) por P(B\A) en el teorema de la multiplicación P(A∩B)= P(A) P(B), entonces

            Definición: A y B son eventos independientes si P(A∩B)= P(A) P(B); de otro modo son dependientes.

            Para tres eventos A, B y C se dice que son independientes si:

                        a)        P(A∩B)= P(A) P(B), P(A∩C)= P(A) P(C)  y P(B∩C)= P(B) P(C), esto es si los eventos son independientes dos a dos, y

                        b)        P(P(A∩B∩C)= P(A) P(B) P(C)

            Se debe resaltar que la condición (b) no se desprende de la condición (a); en otras palabras, tres eventos pueden ser dos a dos independientes pero no independientes entre sí.

Ejemplo:

      Sea el caso de lanzar un par de monedas corrientes, aquí

S={CC, EE,CE,EC} es un espacio equiprobable.  Considérese los eventos

A={caras en el primera moneda} = {CC, CE}

B={caras en la segunda moneda}= {CC, EC}

C={caras en una moneda exactamente}= {CE,EC}

Entonces P(A)=P(B)=P(C)=2/4=1/2 y

            P(A∩B)= P({CC})=1/4,  P(A∩C) = P({CE})=1/4  , P(B∩C)=({EC)}

Así la condición (a) se satisface, o sea, los eventos son independientes dos a dos. Sin embargo, A∩B∩C=Ø =0 ≠P(A) P(B) P(C); es decir,  la condición (b) no se satisface y por tanto los tres eventos no son independientes.

6.            Pruebas Repetidas o Independientes

Se han discutido anteriormente espacios de probabilidad que estaban relacionados con un experimento repetido un número finito de veces, tal como el lanzamiento de una moneda tres veces. Este concepto de repetición se formaliza como sigue:

            Definición: Sea S un espacio finito de probabilidad.  Por n pruebas repetidas o independientes, significamos el espacio de probabilidad T que consta de n-uplas o elementos de S con la probabilidad de una n-upla definida como el producto de las probabilidades de sus componentes:

 P((s₁,s₂,…, s_n))= P(s₁) P(s₂ )…. P(s_n).   Ejemplo:

      Tres caballo a, b y c corren juntos, sus probabilidades de ganar son respectivamente ½, 1/3 y 1/6.   S={a,b,c} con P(a)=1/2, P(b)=1/3 y P(c)=1/6. Si los caballos corren dos veces, entonces el espacio muestral de las dos pruebas repetidas es:     T={aa,ab,ac, ba,bb,bc, ca, cb, cc}

La probabilidad de cada punto T es:

            P(aa)= P(a) P(a)=1/2x1/2=1/4      P(ba)=1/6                  P(ca)=1/12

            P(ab)=1/6                                         P(bb)=1/9                  P(cb)=1/18

            P(ac)=1/12                                       P(bc)=1/18                P(cc)=1/36

Así la probabilidad de que c gane la primera carrera y de que a gane la segunda es P(ca)=1/12

            Desde otro punto de vista, un proceso de pruebas repetidas es un proceso estocástico, cuyo diagrama de árbol tiene las siguientes propiedades:

a)           Cada ramal tiene los mismos resultados

b)           La probabilidad es la misma en cada rama que conduce a un mismo final.

Diagrama de árbol                                                             1/2      a

                                                                                              1/3      b         

                                                      a                                                   c

                        1/2                                          1/6                             

                                                                                                          a

                                   1/3                  b          1/2                  1/3                

                                                                                                          b

                                                                       1/6                              c

                     1/6                                                        1/2

                                           c                                               a

                                                                                   1/3      b

                                                                       1/6           c

III.  PROBLEMAS RESUELTOS

1.         Se seleccionan al azar dos cartas entre 10 cartas numeradas de 1 a 10.   Hallar la probabilidad p de que la suma sea impar si, (a) las dos cartas se sacan juntas, (b) se sacan una tras otra sin sustitución, (c) las dos cartas se sacan una después de la otra con sustitución.

            SOLUCION:

Hay   ₁₅ C₃  = 455 maneras de escoger 3 lámparas entre 15:

            a)        Puesto que hay 15 – 5 = 10 lámparas no defectuosas, entonces hay

₁₀ C ₃ = 120 maneras de escoger 3 lámparas no defectuosas.  Así que p= 120/455=24/91

      b)        Hay 5 lámparas defectuosas y ₁₀ C ₂  =45 pares diferentes de

lámparas no defectuosas; por consiguiente  hay 5 x 45 = 225 maneras de escoger 3 lámparas de las cuales una es defectuosa  Entonces p=225/455=45/91.

            c)         El evento en que por lo menos una sea defectuosa es el complemento del evento en que ninguna es defectuosa que tiene según a), probabilidad de 24/91.  Entonces p = 1-24/91=67/91.

2.         Durante un viaje 5 amigos juegan una partida diaria.   Suponiendo que era un juego puramente al azar o, lo que es lo mismo, que los 5 jugadores eran igualmente hábiles, ¿cuál es la probabilidad de que uno de ellos (Juan) no gane ninguna partida?

            SOLUCION

            Puesto que la probabilidad de ganar es la misma para cada jugador, esto es 1/5, quiere decirse que la probabilidad de no ganar de Juan es 4/5.  Como se jugarón 5 partidas, la probabilidad buscada de que Juan no ganase ninguna

es= (4/5) ⁵ = 0.32768.

3.         Un tirador tiene la probabilidad p de dar en el blanco.  Se le ofrecen dos alternativas:

            a) hacer un solo disparo; b) hacer 3 disparos con la condición de dar por lo menos 2 veces en el blanco. ¿Cuál alternativa es más favorable al tirador?

            SOLUCION: La probabilidad de dar 2 veces en el blanco en 3 disparos es

3 p² (1 – p), puesto p² (1 – p) es la probabilidad de dar en el blanco 2 veces especificadas y errar la tercera.  La probabilidad de dar las 3 veces en el blanco es p³ . Por tanto, la probabilidad de dar por lo menos 2 veces en el blanco en 3 disparos es p³  + 3 p²  (1 – p) . Para que la segunda alternativa sea más ventajosa que la primera debe ser, por tanto,

p³  + 3 p²  (1 – p) > p, o sea, 2 p² – 3p + 1 < 0 , de donde ½ < p < 1.  Por tanto, si p>1/2, es ventajosa la segunda alternativa, pero si p< ½ es preferible la primera.  Si p= ½ las dos alternativas son equivalentes.

4.         La Comisión de Turismo de Florida seleccionó una muestra de 200 turistas que visitaron el estado durante el año.  La encuesta revelo que 120 turistas fueron a Disney World y 100 a Busch Gardens cerca de Tampa. y 60 visitaron ambos lugares ¿Cuál es la probabilidad de que una persona seleccionada haya visitado Disney World o Busch Gardens?

            SOLUCION:

P (Disney o Busch) = P(Disney) + P (Busch) – P (Disney y Busch)

                               = 120/200 = 100/200 – 60 /200

                                      = 160/200 = 0.8

5.         Cierto tipo de proyectil da en el blanco con probabilidad 0.3 ¿Cuántos proyectiles deberán ser disparados para que haya al menos un 80% de probabilidad de pegar en el blanco.

            SOLUCION:

La probabilidad de que un proyectil falle su blanco es 0.7; por tanto la probabilidad de que n proyectiles fallen en el blanco es (0.7)^n.  Así buscamos el menor n para el que

            1 – (0.7)ⁿ > 0.8 o equivalente (0.7)^n < 0.2

calculamos: (0.7)^1=0.7, (0.7)^2=0.49, (0.7)^3=0.343, (0.7)^4=0.2401, (0.7)^5=0.16807.  Así por lo menos 5 proyectiles deben ser disparados.

IV. PROBLEMAS PROPUESTOS

1.         Un acertijo en un diario presenta un problema de apareamiento.  Los nombres de 10 presidentes de Guatemala se enlistan en una columna y su período de gobierno se enlista aleatoriamente en la segunda columna.  El acertijo pide al lector que asocie cada presidente con su período. Si  se realizan las asociaciones al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que las 10 asociaciones sean correctas?

2.         En un programa de entrenamiento para la gerencia de Claremont Enterprises, 80% de los asistentes son mujeres y 20% hombres; 90% de las mujeres son egresadas de la universidad y 78% de los hombres también.

            a)        Se selecciona al azar una de las personas en entrenamiento ¿Cuál es la probabilidad de que se trate de una mujer que no asistió a la universidad?

            b)        Trace un diagrama de árbol que muestre todas las probabilidades  condicionales y conjuntas.

3.         En una competencia de natación, la ventaja de que A gane es 2 a 3 y la ventaja de que B gane es 1 a 4.  Hallar la probabilidad p y la ventaja de que A o B ganen la competencia.

4.         Tres niños y tres niñas se sientan en fila.  Hallar la probabilidad de que

a)        las tres niñas se sienten juntas

b)        los niños y las niñas se sienten alternados.

5.         A una persona se le reparten 3 cartas, espadas, de una baraja corriente de 52 cartas.  Si se le dan cuatro, cartas más determinar la probabilidad de que por lo menos dos de las cartas adicionales sean también espadas.

v.     BIBLIOGRAFIA

1.      Hanke, John E y Arthur Reitsch. 1997. Estadística para

negocios.  Editorial Mc Graw Hill. 2ª. Edición, USA,. 562 p.

2.      Lipschutz, S.  Probabilidad.  1971. Traducción Alfredo  

Ferro. Editorial McGraw Hill.  México,. Serie de Compendios  Schaum.  151 p.

3.      Mason, R y Douglas Lind.  1990.  Estadística para     

administración y economía.  Traducción de María Fournier.   Editorial Alfaomega.  México,.  911 p.

4.      Medkov  K y S. Kaláshink.  1981.  Manual de la teoría de

probabilidades y estadística matemática. Editorial Mir, Moscú, 579 p.

5.      Santaló, Luis. 1980. Probabilidad e inferencia estadística.

       3ª . edición. Organización de los Estados Americanos.                

       Programa Regional de Desarrollo Científico y    

       Tecnológico.  USA, 137 p.  Serie Matemática,   

       Monografía no. 11.

6.      Yamane, Taro. 1974.  Estadística.   3ª. Edición. Editorial  

        Harla.  México, 573 p.

7.      www.aulafacil.com  Curso de estadística.