Visualización y Cálculo de Volúmenes de Sólidos de Revolución con Maple

UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS

FACULTAD DE CIENCIAS QUIMICAS Y FARMACIA

CALCULO Y VISUALIZACION  DE VOLUMENES DE REVOLUCION CON MAPLE®

Profesor Tzanio Kolev

Traducido y adaptado por

Luis Manfredo Reyes Chàvez

Area Fìsico-Matemàtica

INTRODUCCION:

Uno de los temas màs difíciles en la enseñanza del càlculo integral es el del càlculo de volúmenes de sòlidos de revoluciòn, debido a la dificultad de visualizar los sòlidos, que requiere en muchos casos bastante imaginación.

Debido a que el programa matemàtico MAPLE® posee capacidades de graficación y càlculo de todo tipo, es importante revisar las capacidades del programa para este tema

Este artìculo es una adaptación y traducción del documento “MAPLE 152: MAPLE LAB, SOLIDS OBTAINED BY REVOLUTION, del profesor Tzanio Kolev.

Se asume que los lectores tienen instalado el paquete matemàtco MAPLE y que conocen su uso bàsico. Ademàs, es necesario conocimientos de càlculo integral, càlculo iferencial y de álgebra.

Se espera que sea de utilidad a estudiantes y profesores.

PRIMER EJEMPLO:

CALCULE EL VOLUMEN GENERADO CUANDO LA REGION FORMADA POR

Y=|X|, Y=(1-X²)^1/2

ROTA

A) ALREDEDOR DEL EJE Y

B) ALREDEDOR DEL EJE X

PRIMERA PARTE: DEFINICION DE FUNCIONES DE ROTACION

> with(plottools):

readlib(addcoords):

addcoords(yaxis,[z,r,theta],[r*cos(theta),r*sin(theta),z]);

rotate_y:=(f,a,b)->plot3d(f(x),x=a..b,theta=0..2*Pi,

coords=yaxis,axes=boxed,projection=normal,

scaling=constrained, orientation=[50,75],numpoints=1000):

rotate_x:=(f,a,b)->rotate(plot3d(f(x),theta=0..2*Pi,x=a..b,

coords=cylindrical,axes=boxed,projection=normal,

scaling=constrained,orientation=[50,75],numpoints=1000),0,-Pi/2,0):

SEGUNDA PARTE: DEFINICION DE LAS FUNCIONES A TRABAJAR

>  f:=x->abs(x);

g:=x->sqrt(1-x^2);

TERCERA PARTE: GRAFICAR LAS FUNCIONES

>  plot({f(x),g(x)},x=-1..1,scaling=constrained);

OCTAVA PARTE: CALCULAR EL VOLUMEN GENERADO ALREDEDOR DE Y

Se utiliza el mètodo de corteza cilìndrica

> vol_y:=int(2*Pi*x*(g(x)-f(x)),x=0..b);

 vol_y= 0.6134341230

SEGUNDO EJEMPLO:

CALCULE EL VOLUMEN DE UNA ESFERA DE RADIO=1, USANDO INTEGRACION

PRIMERA PARTE: DEFINICION DE FUNCIONES (SI YA SE REALIZO ENTERIORMENTE NO ES NECESARIO DEFINIRLAS DE NUEVO

> with(plottools):

readlib(addcoords):

addcoords(yaxis,[z,r,theta],[r*cos(theta),r*sin(theta),z]);

rotate_y:=(f,a,b)->plot3d(f(x),x=a..b,theta=0..2*Pi,coords=yaxis,

axes=boxed,projection=normal,scaling=constrained,

orientation=[50,75],numpoints=1000):

rotate_x:=(f,a,b)->rotate(plot3d(f(x),theta=0..2*Pi,x=a..b,

coords=cylindrical,axes=boxed,projection=normal,

scaling=constrained,orientation=[50,75],numpoints=1000),0,-Pi/2,0):

SEGUNDA PARTE: DEFINIR LAS FUNCIONES PARA EL MODELO

f:=x->sqrt(1-x^2);

g:=x->0;

TERCERA PARTE: GRAFICAR EN EL MISMO PLANO

> plot({f(x),g(x)},x=-1..1,scaling=constrained);