SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS CON MAXIMA
Ing. Luis Manfredo Reyes
Maxima es un software que se derivó del sistema original Macsyma, desarrollado en el MIT (Massachusetts Institute of Technology) entre los años 1968 y 1982 como parte de un proyecto de investigación en computación simbólica llamado “MAC”.
En un gesto digno de agradecimiento, el MIT otorgó una copia del código fuente original del software al DOE (Department of Energy) en 1982, en una versión conocida como DOE-Macsyma.
Una de estas copias fue custodiada por el Profesor William F. Schelter de la Universidad de Texas desde el año 1982 hasta su fallecimiento en 2001.
En 1998 gracias a las gestiones y perseverancia de Schelter, se logró obtener el permiso del Departamento de Energía para distribuir el programa bajo la llamada licencia GNU-GPL, iniciando en el año 2000 el proyecto Maxima en SourceForge con el fin de mantener y seguir desarrollando DOE-Macsyma, ahora con el nombre de Maxima.
El Software puede descargarse, instalarse, utilizarse en forma gratuita, siempre que no se use con fines comerciales, ni se cobre por su uso. El sitio es:
http://sourceforge.net/projects/maxima/files/latest/download?source=files
Maxima posee un amplio conjunto de funciones para hacer manipulación simbólica de polinomios, matrices, funciones racionales, integración, derivación, manejo de gráficos en 2D y 3D, manejo de números de punto flotante y grandes, expansión en series de potencias y de Fourier, entre otras funcionalidades.
Se asume que el lector tiene conocimientos del uso básico del programa
Sintaxis:
En Maxima, una derivada se
representa usando la siguiente forma: ‘diff(y,x)
ejemplo: y´+2xy=x, en Maxima se codifica ‘diff(y,x)+2*x*y=x
Si se trata de derivadas de orden superior, se indica así:
‘diff(y,x,n)
donde n es el grado (2=segunda, 3=tercera, etc)
Si se trata de derivadas de orden superior, se indica así:
‘diff(y,x,n)
donde n es el grado (2=segunda, 3=tercera, etc)
No se puede usar la forma polinomial: P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0. En éste caso
se debe hacer la manipulación algebráica para acomodarla a una de las dos
formas que sí acepta el programa
Maxima dispone de dos comandos para resolver ecuaciones diferenciales:
Ode2: resuelve ecuaciones ordinadias de primero y segundo orden
Desolve: resuelve sistemas de ecuaciones diferenciales, por el método de
transformada de LaPlace
Adicionalmente, Maxima permite la creación de extensiones, en una
categoría llamada Contribuciones. Existe una contribución llamada CONTRIB_ODE,
que provee métodos adicionales para resolver algunos casos donde ode2 tiende a
fallar.
Maxima permite almacenar una ecuación en una variable para su uso
posterior, o en la sintaxis del comando incluirla directamente.
SINTAXIS
DEL COMANDO ODE2:
ODE2(ecuación,
dependiente, independiente)
Usualmente
la variable dependiente es y y la independiente es x, pero Maxima acepta
cualquier nombre de variable
CASO1: ECUACIONES DE VARIABLES SEPARABLES
Ejemplo 1. Resuelva:
Primero hay que acomodar la ecuación, sustituyendo la derivada por
y'
2*x*y+6*x+(x^2-4)*'diff(y,x)=0
MAXIMA NO
PERMITE OPERACIONES IMPLÍCITAS!!!
SE DEBEN
ESPECIFICAR LOS OPERADORES ARITMÉTICOS
en la consola de Maxima se
escribe: ode2(2*x*y+6*x+(x^2-4)*'diff(y,x)=0,x,y);
TODOS LOS COMANDOS DE MAXIMA DEBEN TERMINAR CON PUNTO Y COMA!!
el resultado es:
resuelva:
Se sustituye la derivada por 'diff(y,x)
y queda: 'diff(y,x)=x-1+x*y-y
Se ingresa a la consula de Maxima: ode2(y'=x-1+x*y-y,x,y)
Se ingresa a la consula de Maxima: ode2(y'=x-1+x*y-y,x,y)
la respuesta es:
Un ejemplo con condición inicial:
Resuelva:
se acomoda la ecuación: 'diff(y,x)=2*x^2/3*y^3
se ingresa ode2('diff(y,x)=(2*x^2)/(3*y^3),y,x);
es muy importante delimitar el numerador y el denominador con paréntesis
para no cometer errores y obtener una respuesta distinta
cuando Maxima presenta la solución general, se puede llamar a la función
ic1 para valuar las condiciones iniciales:
ic1(%solución,x=valor,y=valor);
Maxima almacena la solución en una variable llamada %o y las va
numerando para diferenciar. Se debe usar el último resultado donde presenta la
solución general
CASO 2: ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS
Resuelva: 2xydx+(x^2-1)dy=0
Se divide todo entre dx y se sustituye la derivada
2*x*y+(x^2-1)*'diff(y,x)=0
Se ingresa ode2(2*x*y+(x^2-1)*'diff(y,x)=0,y,x);
la respuesta es:
CASO 3: ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS
Resuelva: (x^2+y^2) dx +(x^2-xy) dy=0
primero se acomoda la ecuación: (x^2+y^2) +(x^2-x*y)*'diff(y,x)=0
se ingresa a la consola ode2( x^2+y^2 +(x^2-x*y)*'diff(y,x)=0,y,x);
la respuesta es:
CASO 4: ECUACIONES LINEALES
resuelva: x^2 y'+5xy+3x^5=0
se ingresa a la consola ode2(x^2*’diff(y,x)+5*x*y+3*x^5=0,y,x);
la respuesta es:
CASO 5:
ECUACIONES DE LA FORMA BERNOULLI
Resuelva:
y'=5y-5xy^3
se
ingresa ode2('diff(y,x)=5*y-5*x*y^3,y,x);
la
respuesta es:
CASO 6:
ECUACIONES DE LA FORMA RICATTI:
Resuelva:
y'=y+y^2+1
Ingresar ode2 ( 'diff(y,x)=y+y^2+1,y,x);
La
respuesta es:
CASO 7: ECUACIONES
DE SEGUNDO ORDEN DE LA FORMA CAUCHY-EULER
Resuelva: x^2y''-5x*y'+13=0
Ingresar ode2(x^2*'diff(y,x,2)-5*x*'diff(y,x)+13=0,y,x);
La
respuesta es:
CASO 8:
ECUACIONES
DE SEGUNDO ORDEN CON COEFICIENTES CONSTANTES
Resuelva:
(x-1)y''-y'=0
Acomodar la ecuación e ingresar
ode2(((x-1)*’diff(y,x,2)-‘diff(y,x)=0,y,x);
La respuesta es:
CASO 9: ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN CON COEFICIENTES VARIABLES
Resuelva:
Ingresar ode2('diff(y,x,2)-3*t/(t-1)*'diff(y,x)+4/(t-1)*y=y,y,t);
La respuesta es:
La respuesta es:
En éste
caso, Maxima no encontró la solución usando el comando edo2
Se debe
intentar resolver utilizando al paquete contribuído contrib_ode
Introducción a contrib_ode (fuente: Manual de
Maxima)
La
función ode2 de Maxima intenta resolver ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO)
simples de primer y segundo orden. La contribución añadida: contrib_ode extiende
las posibilidades de ode2 con métodos adicionales para
ODEs lineales y no lineales de primer orden y homogéneas lineales de segundo
orden. El módulo está aún en estado de
desarrollo y la sintaxis puede cambiar en futuras versiones. Tanm pronto como
la codificación pase las pruebas necesarias,
ya se podrá integrar dentro de Maxima.
El
paquete debe cargarse con la instrucción load('contrib_ode) antes de
utilizarlo.
La
sintaxis de contrib_ode es similar a la de ode2. Se necesitarán tres argumentos: una EDO (sólo se necesita el
miembro izquierdo si el derecho es igual cero), la variable dependiente y la
independiente. Si encuentra la solución, devolverá una lista de resultados.
La forma
de los resultados devueltos es diferente de la utilizada por ode2. Puesto que las ecuaciones no lineales pueden
tener múltiples soluciones, contrib_ode devuelve
una lista de soluciones. Las soluciones pueden tener diferentes formatos:
- una función explícita para la variable dependiente,
- una función implícita para la variable dependiente,
- una solución paramétrica en términos de la variable %t o
- una transformación en otra EDO de variable %u.
%c hace referencia a la constante
de integración en las ecuaciones de primer orden. %k1 y %k2 son las constantes para las
ecuaciones de segundo orden. Si por cualquier razón contrib_ode no pudiese
encontrar una solución, devolverá false, quizás
después de mostrar un mensaje de error.
Ejemplos:
En
ocasiones es necesario devolver una lista de soluciones, pues algunas EDOs
pueden tener múltiples soluciones:
(%i1) load('contrib_ode)$
(%i2) eqn:x*'diff(y,x)^2-(1+x*y)*'diff(y,x)+y=0;
dy 2 dy
(%o2)
x (--) - (x y + 1) -- + y = 0
dx dx
(%i3) contrib_ode(eqn,y,x);
x
(%o3)
[y = log(x) + %c, y = %c %e ]
(%i4) method;
(%o4) factor
Las EDOs no lineales pueden tener soluciones singulares sin constantes de integración, como en la segunda solución del ejemplo siguiente:
(%i1)
load('contrib_ode)$
(%i2)
eqn:'diff(y,x)^2+x*'diff(y,x)-y=0;
dy 2 dy
(%o2) (--) + x -- - y = 0
dx dx
(%i3) contrib_ode(eqn,y,x);
2
2 x
(%o3) [y = %c x + %c , y = - --]
4
(%i4) method;
(%o4) clairault
La
siguiente ODE tiene dos soluciones paramétricas en términos de la variable %t. En este caso, las soluciones paramétricas se pueden manipular para dar
soluciones explícitas.
(%i1)
load('contrib_ode)$
(%i2)
eqn:'diff(y,x)=(x+y)^2;
dy 2
(%o2) -- = (y + x)
dx
(%i3) contrib_ode(eqn,y,x);
(%o3) [[x = %c - atan(sqrt(%t)), y = - x -
sqrt(%t)],
[x = atan(sqrt(%t)) + %c, y = sqrt(%t) - x]]
(%i4) method;
(%o4) lagrange
En el
siguiente ejemplo (Kamke 1.112) se obtiene una solución implícita.
(%i1) load('contrib_ode)$
(%i2)
assume(x>0,y>0);
(%o2) [x > 0, y > 0]
(%i3) eqn:x*'diff(y,x)-x*sqrt(y^2+x^2)-y;
dy 2 2
(%o3)
x -- - x sqrt(y + x ) - y
dx
(%i4) contrib_ode(eqn,y,x);
y
(%o4) [x - asinh(-) = %c]
x
(%i5)
method;
(%o5) lie
La
siguiente ecuación de Riccati se transforma en una EDO lineal de segundo orden
de variable %u. Maxima es incapaz de resolver
la nueva EDO, por lo que la devuelve si resolver:
(%i1)
load('contrib_ode)$
(%i2)
eqn:x^2*'diff(y,x)=a+b*x^n+c*x^2*y^2;
2 dy
2 2 n
(%o2)
x -- = c x y + b
x + a
dx
(%i3) contrib_ode(eqn,y,x);
d%u
--- 2
dx 2 n - 2
a d %u
(%o3) [[y =
- ----, %u c (b x +
--) + ---- c = 0]]
%u c 2 2
x dx
(%i4)
method;
(%o4) riccati
Para EDOs de primer orden, contrib_ode llama a ode2. Entonces trata de aplicar los siguientes métodos: factorización, Clairault, Lagrange, Riccati, Abel y Lie. El método de Lie no se intenta aplicar a las ecuaciones de Abel si el propio método de Abel no obtiene solución, pero sí se utiliza si el método de Riccati devuelve una EDO de segundo orden sin resolver.
Para EDOs de segundo orden, contrib_ode llama a ode2 y luego a odelin.
Se
mostrarán mensajes de depurado si se ejecuta la sentencia put('contrib_ode,true,'verbose).
Devuelve la lista de soluciones de la ecuación diferencia ordinaria
(EDO) eqn de variable independiente x y variable dependiente y.
La función odelin resulve EDOs homogéneas lineales
de primer y segundo orden con variable independiente x y variable
dependiente y. Devuelve un conjunto fundamental de soluciones de la EDO.
Para EDOs de segundo orden, odelin utiliza
un método desarrollado por Bronstein y Lafaille, que busca las soluciones en
términos de funciones especiales dadas.
(%i1)
load('contrib_ode);
(%i2)
odelin(x*(x+1)*'diff(y,x,2)+(x+5)*'diff(y,x,1)+(-4)*y,y,x);
...trying
factor method
...solving
7 equations in 4 variables
...trying
the Bessel solver
...solving
1 equations in 2 variables
...trying
the F01 solver
...solving
1 equations in 3 variables
...trying
the spherodial wave solver
...solving
1 equations in 4 variables
...trying
the square root Bessel solver
...solving
1 equations in 2 variables
...trying
the 2F1 solver
...solving
9 equations in 5 variables
gauss_a(- 6, - 2, - 3, - x) gauss_b(- 6, - 2, - 3, - x)
(%o2) {---------------------------,
---------------------------}
4 4
x x
Devuelve el valor de la ecuación diferencia ordinaria (EDO) eqn
después de sustituir una posible solución soln. El valor es cero si soln
es una solución de eqn.
(%i1)
load('contrib_ode)$
(%i2)
eqn:'diff(y,x,2)+(a*x+b)*y;
2
d y
(%o2) --- + (a x + b) y
2
dx
(%i3)
ans:[y = bessel_y(1/3,2*(a*x+b)^(3/2)/(3*a))*%k2*sqrt(a*x+b)
+bessel_j(1/3,2*(a*x+b)^(3/2)/(3*a))*%k1*sqrt(a*x+b)];
3/2
1 2 (a x + b)
(%o3) [y = bessel_y(-, --------------) %k2 sqrt(a x
+ b)
3 3 a
3/2
1 2 (a x + b)
+ bessel_j(-, --------------)
%k1 sqrt(a x + b)]
3 3 a
(%i4)
ode_check(eqn,ans[1]);
(%o4) 0
A la variable method se le asigna el método aplicado.
%c es la
constante de integración para EDOs de primer orden.
%k1 es la
primera constante de integración para EDOs de segundo orden.
%k2 es la
segunda constante de integración para EDOs de segundo orden.
gauss_a(a,b,c,x) y gauss_b(a,b,c,x) son funciones geométricas 2F1 . Representan dos
soluciones independientes cualesquiera de la ecuación diferencial
hipergeométrica x(1-x)
diff(y,x,2) + [c-(a+b+1)x diff(y,x) - aby = 0 (A&S 15.5.1).
El único uso que se hace de estas funciones es en las soluciones de EDOs
que devuelven odelin y contrib_ode. La definición y utilización de estas funciones
puede cambiar en futuras distribuciones de Maxima.
Véanse también gauss_b, dgauss_a y gauss_b.
Véase también gauss_a.
The derivative with respect
to x of gauss_a(a,b,c,x).
Derivada de gauss_b(a,b,c,x) respecto de x.
Función M de Kummer, tal como la definen Abramowitz y Stegun, Handbook
of Mathematical Functions, Sección 13.1.2.
El único uso que se hace de esta función es en las soluciones de EDOs
que devuelven odelin y contrib_ode. La definición y utilización de estas funciones
puede cambiar en futuras distribuciones de Maxima.
Véanse también kummer_u, dkummer_m y dkummer_u.
Función U de Kummer, tal como la definen Abramowitz y Stegun, Handbook
of Mathematical Functions, Sección 13.1.3.
Véase también kummer_m.
Derivada de kummer_m(a,b,x) respecto de x.
Derivada de kummer_u(a,b,x) respecto de x.
No hay comentarios:
Publicar un comentario