Estadística, Matemática y Computación: Métodos de Integración de la Distribución Normal de Probabilidades

UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS

FACULTAD DE CIENCIAS QUIMICAS Y FARMACIA

CURSO CORTO:

MÉTODOS PARA INTEGRAR LA DISTRIBUCION NORMAL DE PROBABILIDADES

Ing. Luis Manfredo Reyes Chàvez

Guatemala, Julio de 2008

UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA

FACULTAD DE CIENCIAS QUIMICAS Y FARMACIA

AREA FISICO-MATEMATICA

MÉTODOS PARA INTEGRAR LA FUNCIÒN DE PROBABILIDAD DE LA DISTRIBUCION NORMAL

Luis Manfredo Reyes Chávez

Profesor Titular

1. Introducción:

La distribución normal de probabilidades es quizá la más importante de las distribuciones de probabilidad de variables contínuas. Debido a la naturaleza de su función de probabilidades, el cálculo de la probabilidad entre dos valores requiere integrar entre dos límites, lo cual no es posible realizar directamente, debido a que la funciòn no tiene antiderivada.

Aunque para obtener los valores de probabilidad se han utilizado por mucho tiempo las “tablas de áreas bajo la curva normal” , éstas tienen el inconveniente de introducir errores por aproximación o redondeo, ya que se trabaja solamente con dos decimales.

En este documento se realiza una revisión de algunos métodos que permiten la integración de la función y así poder obtener valores de probabilidad más exactos.

2. Origen histórico

El primero en estudiar la naturaleza y propiedades de ésta distribución fue Abraham de Moivre, quien presentó en 1733 el primer documento sobre el tema. Posteriormente otros le dedicaron atención, tales como Pierre Simon LaPlace (1812) y Karl Gauss (1794) y Legendre (1805). Debido a que Gauss fue un matemático más conocido y famoso que los demás, se le bautizó como “Distribución Gaussiana”.

El término “curva de campana”es debido a Jouffret, en 1872, mientras que “Distribución Normal fue aplicado primeramente aunque por separado por Charles Pierce, Francis Galton y Wilhelm Lexis,

3. Propiedades de la distribución normal

3.1 Si x es una variable aleatoria contínua, definida en el dominio (-∞,+∞), con los parámetros: media aritmética µ y varianza σ², entonces la función de probabilidad de x, es:

3.2 La gráfica de la distribución tiene forma de campana. Es por esa razón que rápidamente fue llamada “campana de Gauss”

Gráfica 1: Forma de la gráfica de cuatro distribuciones normales con distintos parámetros.

Fuente: Wikipedia

3.3 La gráfica es simétrica respecto a la media, que ocupa el valor central

3.4 Debido a la forma de la distribución, en un mismo punto coinciden: la media aritmética, la mediana y la moda en un mismo punto.

3.5 Los puntos de inflexión de la gráfica ocurren a una desviación estándar de distancia de la media.

3.6 La función acumulada de x, corresponde al área bajo la gráfica, entre dos valores a y b y se determina mediante la siguiente integral:

Esta integral no puede resolverse por medios convencionales, debido a que no hay teoremas ni simplificaciones que se puedan aplicar

Precisamente aquí es donde nace la necesidad de métodos alternativos de integración para obtener el àrea respectiva

4. DISTRIBUCION NORMAL ESTANDAR

En la realidad existe una infinita cantidad de gráficas, pues cada una depende de la media y la desviación estándar. Esto podría representar una dificultad para el cálculo de las áreas. Para resolver éste inconveniente fue desarrollada una forma estadarizada de la distribución, llamada “Distribución Normal Estándar”.

Este distribución tiene media cero y varianza 1.

No existe forma de encontrar la antiderivada de la funciòn, pero afortunadamente hay varios mètodos de càlculo que se discutiràn a contunuaciòn

5. METODOS ALTERNOS DE INTEGRACION:

5.1 USO DE SERIES DE TAYLOR

La función de probabilidad de la distribución normal puede ser sustituida por

Este mètodo tiene la ventaja de ser relativamente fàcil, pero las desventajas son: que sòlo permite integrar de cero a Z, y que se pueden necesitar muchos tèrminos para lograr suficiente precisiòn.

Ejemplo: Càlcule el àrea entre Z=0 y Z=1.5, CON 10 TÈRMINOS

TERMINO

VALOR

SUMA

AREA

1	1.5	1.5	0.59841342
2	-0.5625	0.9375	0.37400839
3	0.18984375	1.12734375	0.44974509
4	-0.067801339	1.05954241	0.42269627
5	0.022247314	1.08178973	0.43157166
6	-0.006552845	1.07523688	0.42895745
7	0.001732724	1.0769696	0.42964871
8	-0.000413732	1.07655587	0.42948365
9	8.98384E-05	1.07664571	0.42951949
10	-1.78626E-05	1.07662785	0.42951237

Comparativamente, el àrea obtenida de las tablas es: 0.4332

5.2 USO DE SERIES ASINTOTICAS

Este mètodo es útil cuando se quiere evaluar la cola derecha de la funciòn, es decir la integral entre Z y el infinito.

La serie equivalente es la siguiente:

  Ejemplo: Encuentre el area entre Z=2.25 y el infinito con 20 tèrminos

TERMINO	1/RAIZ(2PI)	EXP(-(Z^2)/2)	EXPANSION	AREA
1	0.39894228	0.07955951	0.44444444	0.01410651
2	0.39894228	0.07955951	0.35665295	0.01132004
3	0.39894228	0.07955951	0.40867754	0.01297128
4	0.39894228	0.07955951	0.35729523	0.01134043
5	0.39894228	0.07955951	0.42834237	0.01359544
6	0.39894228	0.07955951	0.30203634	0.00958653
7	0.39894228	0.07955951	0.57647908	0.01829725
8	0.39894228	0.07955951	-0.12826279	-0.00407102
9	0.39894228	0.07955951	1.95986127	0.06220531
10	0.39894228	0.07955951	-5.05211087	-0.16035224

Si se compara los resultados con el valor que da la tabla: 0.01222447, se puede notar que el método es divergente en algún momento, y en este ejemplo el valor es correcto hasta el quinto término

5.3 USO DE LA FUNCION GAMMA

Otra forma de evaluar la integral es utilizar la funciòn gamma. Se aplica en los casos en que el rango està entre Z1 y Z2, pero Z2=-Z1, es decir la misma distancia a la izquierda y a la derecha de la media

Inicialmente, se debe recordar lo siguiente:

La funciòn gamma  se define por la siguiente integral:

Aunque la función es relativamente fácil de evaluar usando integración por partes, también existen tablas.

Ejemplo: Calcule el área para una región entre Z=-2.25 y Z=2.25 con 11 tèrminos

Z=	2.25
U=	1.590990258
e^(-U^2)=	0.079559509
Gamma(1/2)=	1.772453851
1/raiz(pi)=	0.564189584


TERMINO	Gamma(3/2+n)	U^2n	Producto	Suma	Area
0	0.886227	1.000000	2.000000	2.000000	0.142828
1	1.329340	2.531250	3.375000	5.375000	0.383851
2	3.323351	6.407227	3.417188	8.792188	0.627887
3	11.631728	16.218292	2.471359	11.263546	0.804377
4	52.342778	41.052552	1.390139	12.653686	0.903653
5	287.885278	103.914273	0.639780	13.293466	0.949342
6	1871.254305	263.033003	0.249145	13.542611	0.967135
7	14034.407291	665.802289	0.084086	13.626697	0.973140
8	119292.461970	1685.312044	0.025040	13.651738	0.974928
9	1133278.388710	4265.946111	0.006672	13.658410	0.975405
10	11899423.081422	10798.176095	0.001608	13.660018	0.975519

Comparativamente, el valor producido por la tabla es: 0.9876

5.4 METODO DE LA FUNCION DE ERROR

La funciòn de error se define como:

El resultado es el àrea derecha (entre menos infinito y Z)

Ejemplo: obtenga el valor del àrea para una Z=1.75, con 11 tèrminos

2/raiz(pi)	1.128379167
Z=	1.75

n	(-1)^1	Z^(2n+1)	n!	2n+1	resultado	area
0	1	1.75	1	1	1.97466354	1.97466354
1	-1	5.35938	1	3	-2.01580237	-0.04113882
2	1	16.41309	2	5	1.85201842	1.8108796
3	-1	50.26508	6	7	-1.3504301	0.4604495
4	1	153.93679	24	9	0.80416237	1.26461187
5	-1	471.43143	120	11	-0.40299501	0.86161686
6	1	1443.75876	720	13	0.17404993	1.03566679
7	-1	4421.51121	5040	15	-0.06599393	0.96967286
8	1	13540.87808	40320	17	0.02229115	0.99196401
9	-1	41468.93911	362880	19	-0.00678674	0.98517727
10	1	126998.62602	3628800	21	0.00188049	0.98705776

Comparativamente, el resultado de la tabla es 0.9599

5.5 MÈTODO DE SIMPSON

El mètodo de Simpson es un mètodo “general” para realizar integraciones, y por lo tanto puede aplicarse en el caso de la integración de la Distribución Normal, tanto estàndar como no estándar. Se llama asì en honor al matemàtico Thomas Simpson (1710-1761)

La metodología de Simpson es la siguiente:

a) Calcular un valor llamado “h”=(b-a)/n

Donde b es el lìmite superior de integración, a es el lìmite inferior de integración

y n es la cantidad de segmentos que se quiere calcular.

b) El valor aproximado del área es:

Ejemplo: Calcule el àrea entre Z=-1.2 y Z=2.5 con n=10

a	1.2
b	2.5
n	10
h	0.13
h/3

termino	xi	coeficiente	f(xi)	producto	area
0	1.200	1	0.19418605	0.00841473	0.00841473
1	1.330	4	0.16473972	0.02855488	0.03696961
2	1.460	2	0.13741654	0.01190943	0.04887905
3	1.590	4	0.11270421	0.0195354	0.06841444
4	1.720	2	0.09088698	0.00787687	0.07629131
5	1.850	4	0.07206487	0.01249124	0.08878256
6	1.980	2	0.05618314	0.00486921	0.09365176
7	2.110	4	0.04306742	0.00746502	0.10111678
8	2.240	2	0.03246027	0.00281322	0.10393001
9	2.370	4	0.02405557	0.00416963	0.10809964
10	2.500	1	0.0175283	0.00075956	0.1088592

Comparativamente, el valor de la tabla es 0.1088

5.6 METODO DE HASTINGS

Desde el punto de vista computacional, quizà el mètodo màs utilizado, tanto en computadoras como en calculadoras, es el mètodo de Hastings, desarrollado por Cecil Hastings . Este mètodo fue presentado en 1955 y el libro es un clàsico

La aproximación para la funciòn acumulada es la siguiente:

En la cual: t=1/(1+pZ), p=0.2316419 b₁=0.319381530 b₂=-0.356563782

B3=1.781477937 b4= -1.821255978 b5=1.330274429

El error en la aproximación es menor que 7.5 x 10-8

La principal ventaja del mètodo radica en que en lugr de usar un proceso iterativo, el resultado se calcula directamente.

Por ejemplo, calcular el àrea izquierda para una Z=1.96

Z	1.96
t	0.687749336
1/raiz(2pi)	0.39894228
e^-.5z^2	0.146489723

coeficiente		t^n
b1	0.31938153	0.21965444
b2	-0.356563782	-0.16865437
b3	1.781477937	0.57952342
b4	-1.821255978	-0.40746631
b5	1.330274429	0.20468789
	suma	0.42774506
	producto	0.02499783
	area	0.97500217