miércoles, 7 de mayo de 2014

PRUEBA DE TUKEY PARA EXPERIMENTOS DESBALANCEADOS

PRUEBA DE TUKEY PARA EXPERIMENTOS DESBALANCEADOS
Ing. Luis Manfredo Reyes

El análisis de varianza es una técnica para análisis de datos, donde se prueba la hipótesis nula  que “todos los tratamientos son iguales, contra la hipótesis alternativa que “al menos uno de los tratamientos es distinto a los demás”.

Lamentablemente, el objetivo deseado al realizar el experimento (encontrar el o los mejores tratamientos), no se puede  cumplir. Para ello es necesario realizar un procedimiento adicional, llamado Prueba de medias.



Existe una gran cantidad de pruebas de medias, pero quizá la más conocida es la prueba de Tukey. Esta prueba fue desarrollada por John W. Tukey.
Se calcula un valor llamado el comparador de Tukey, de la siguiente manera:


Donde:
 q es una  valor que se obtiene de una tabla (Tabla de Tukey) , de manera parecida a la tabla de F .  Horizontalmente se colocan los grados de libertad de los tratamientos y verticalmente los grados de libertad del error. Solamente existen tablas para niveles de significancia del 5% y del 1%.

El término que está dentro de la raíz cuadrada se llama error estándar de la media y es igual al cuadrado medio del error (obtenido en el ANDEVA), dividido entre el número de repeticiones.

Si la diferencia entre dos promedios es mayor que el comparador, se concluye que los dos promedios no son iguales, en caso contrario se concluye que sí son iguales.

Se utiliza el mismo comparador para todos los pares de promedios que se comparan.
Pero ésta fórmula solamente es válida para el caso de experimentos con igual número de repeticiones  (balanceado).

Un experimento  puede ser desbalanceado (desiguales repeticiones) por varios motivos:  por causa de los tratamientos, por fallas en el manejo del experimento, o por causas desconocidas que el experimentador no pudo controlar. El análisis de un experimento desbalanceado  se complica.

En el caso del diseño al completo azar el procedimiento es directo, pero en el de bloques al azar, cuadrado latino y otros, es necesario estimar los datos faltantes antes de realizar el análisis.
Lo mismo sucede para la prueba de Tukey. No se puede usar un solo comparador, se deben calcular varios comparadores para realizar la comparación por pares . Esta variante de la prueba se conoce como Tukey-Kramer
La fórmula para el cálculo es la siguiente:



Donde:
W ij= comparador para el par de tratamientos i,j
q= valor de la tabla de Tukey, con grados de libertad de tratamientos y grados de libertad del error
CME= cuadrado medio del error
ri, rj son las repeticiones de los tratamientos i,j

Ejemplo:
Comparación de 4 concentrados para engorde de pollos. Diseño: completamente al azar, unidad experimental: pollos machos, de 1 mes de nacidos, de la misma raza y criados en las mismas condiciones. Se les alimentó con los concentrados en las dosis recomendadas por los fabricantes por el sistema “ad livitum” (comer todo lo que quieran), y la variable de interés fue: incremento de peso en 4 semanas (en libras).
Datos finales:
A
2.1
1.8
2.0
MURIÓ
1.9
2.0
B
1.5
1.4
1.6
1.4
1.5
1.7
C
2.0
1.8
1.9
2.1
2.1
2.0
D
MURIÓ
1.5
1.6
1.6
1.5
1.4

Los animales murieron por causas naturales (no por efecto de los tratamientos)  deben ser excluídos del análisis, por lo que el experimento se convierte en desbalanceado.

El análisis de varianza al 5% de significancia  elaborado con Excel® es el siguiente:
Análisis de varianza de un factor
RESUMEN
Grupos
Cuenta
Suma
Promedio
Varianza
A
5
9.8
1.96
0.013
B
6
9.1
1.51666667
0.01366667
C
6
11.9
1.98333333
0.01366667
D
5
7.6
1.52
0.007
ANÁLISIS DE VARIANZA
Origen de las variaciones
Suma de cuadrados
Grados de libertad
Promedio de los cuadrados
F
Probabilidad
Valor crítico para F
Entre grupos
1.13787879
3
0.37929293
31.5104895
2.2348E-07
3.15990759
Dentro de los grupos
0.21666667
18
0.01203704
Total
1.35454545
21





Los resultados muestran que sí existe diferencia significativa entre los concentrados al 5%, por lo que debe procederse a la prueba de medias.
El valor de la tabla se obtiene con 3 grados de libertad en la horizontal y 18 en la vertical con un alfa del 5% = 3.118

Por ejemplo, los cálculos para la primera comparación (A contra B) se realizan así:
Diferencia: 1.96-1.516=0.4433
error estándar=
comparador= 3.118*0.047=0.1465


Las comparaciones se realizan así:
r1
r2
diferencia
error estándar
comparador
conclusión
A contra B
5
6
0.4433
0.0470
0.1465
no son iguales
A contra C
5
6
0.0233
0.0470
0.1465
son iguales
A contra D
5
5
0.4400
0.0491
0.1530
no son iguales
B contra C
6
6
0.4667
0.0448
0.1397
no son iguales
B contra D
6
5
0.0033
0.0470
0.1465
son iguales
C contra D
6
5
0.4633
0.0470
0.1465
no son iguales

Finalmente, se realiza la presentación, en el formato usual de Tukey:
1.983
A
1.960
A
B
1.520
C
1.517
C

CONCLUSION: LOS MEJORES TRATAMIENTOS FUERON A Y C, SE DEBE UTILIZAR EL QUE RESULTE MÁS ECONÓMICO


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