CÁLCULO DE EXTREMOS DE FUNCIONES DE TRES
VARIABLES CON GEOGEBRA
Introducción:
Debido al enorme éxito obtenido por el software Geogebra, , se hace conveniente mostrar los campos de aplicación donde puede ser de utilidad.
Debido al enorme éxito obtenido por el software Geogebra, , se hace conveniente mostrar los campos de aplicación donde puede ser de utilidad.
GeoGebra es un software matemático. Fue creado con la idea de ser usado
para la educación en colegios y universidades. Fue creado por Markus
Hohenwarter, en el año 2001 en la Universidad
de Salzburgo, luego en la Universidad de Atlantic, Florida, luego en la Universidad Estatal de Florida y actualmente , en la Universidad de Linz, Austria.
El software tiene dos partes importantes: un procesador geométrico y un
procesador algebraico.
GeoGebra permite el trazado de construcciones geométricas de todo tipo
así como la representación gráfica, el tratamiento algebraico y el cálculo de
funciones reales de variable real, sus derivadas, integrales, etc.
DISPONIBILIDAD:
Existen versiones para: Windows, Linux, MacIntosh, Android e Ios.
Existen algunas diferencias entre las versiones, pero la mayoría de
aspectos son iguales.
La última versión disponible es la 5.
IMPORTANTE: Hasta el momento, las versiones para Android no tienen
incorporada la vista CAS, por lo tanto el procedimiento que se mostrará no
funciona en tabletas y smartphones.
El cálculo de
extremos de funciones de tres variables, implica un algoritmo donde se realizan
las siguientes operaciones:
1. Calcular las
derivadas parciales, respecto a x , y z
2. Igualar a cero las
derivadas parciales y resolver el sistema de ecuaciones, con lo cual se obtienen
los valores críticos
3. Calcular las nueve
segundas derivadas parciales (fxx, fxy, fxz,fyx,fyy,fyz,fzx,fzy,fzz)
4. Valuar las segundas
derivadas parciales en cada uno de los puntos críticos
5. Calcular los tres
Hessianos:
Calculando la determinantes de las matrices formadas así:
La primera : [fxx]
La segunda [fxx fxy]
[fyx fyy]
La tercera:
|
fxx fxy fxz |
|
fyx fyy fyz |
|
fzx fzy fzz |
6. Aplicar la regla de
decisión:
d Si todos los determinantes son positivos, es un mínimo
local
Si hay alternancia de signos:
negativo-positivo-negativo, es un máximo local
En cualquier otro caso, no hay información
concluyente
IMPORTANTE: Enel procedimiento se usa la vista CAS de Geogebra, la cual
por el momento no está disponible en Tabletas ni teléfonos inteligentes
EJEMPLO
Dada la función:
1. Definir la función
f=-x^3+3*x+2*y^2+4*y*z+3*y+8*z^2
2. Calcular primeras
derivadas parciales
fx=Derivada[f,x]…..-3x2+3
fy=Derivada[f,y]…..4y+4z+3
fz=Derivada[f,z)……4y+16z
3. Resolver el sistema
de ecuaciones (Vista CAS)
Resuelve[{fx(x,y,z)=0,fy(x,y,z)=0,fz(x,y,z)=0},[x,y,z}]
Respuesta:
{{x = 1, y = (-1), z
= 1 / 4}, {x = (-1), y = (-1), z = 1 / 4}}
Hay dos puntos
críticos
4. Calcular segundas
derivadas parciales:
fxx=Derivada[fx,x]…..-6x
fxy=Derivada[fx,y]……0
fxz=Derivada[fx,z]……0
fyx=Derivada[fy,x]……0
fyy=Derivada[fy,y]…..4
fyz=Derivada[fy,z]……4
fzx=Derivada[fz,x]……0
fzy=Derivada[fz,y]……4
fzz=Derivada[fz,z]……16
5. Valuar las segundas
derivadas parciales en cada punto si es necesario. Solamente se debe valuar la
fxx
Cuando x=1……fxx(1,-1,1/4)….-6
Cuando x=-1…
fxx(-1,-1,1/4)…..6
6. Análisis para el
punto (1,-1,1/4)
Hessianode
xx: [-6] Su determinante es -6
Hessiano de xy:
Determinante[{{-6,0},{0,4}}]..-24
Hessiano xyz:
Determinante[{{-6,0,0},{0,4,4},{0,4,16}}]..-288
CONCLUSION: No se
sabe si es máximo o mínimo (no es concluyente)
7. Análisis para el
punto (-1,-1,1/4)
Hessianode
xx: [6] Su determinante es 6
Hessiano de xy:
Determinante[{{6,0},{0,4}}]..24
Hessiano xyz:
Determinante[{{6,0,0},{0,4,4},{0,4,16}}]..288
CONCLUSION: es un
mínimo!!!!
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