lunes, 11 de julio de 2011

Análisis de Regresión Logarítmica

UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS

FACULTAD DE INGENIERIA

DEPARTAMENTO DE ESTADISTICA


ANALISIS DE REGRESION SIMPLE LOGARITMICA

Ing. Agr. Luis Manfredo Reyes Chávez
Profesor Titular Departamento de Estadística

1. INTRODUCCION:
Este modelo de regresión es una alternativa cuando el modelo lineal no logra un coeficiente de determinación apropiado, o cuando el fenómeno en estudio tiene un comportamiento que puede considerarse potencial o logarítmico. La forma más simple de tratar de establecer la tendencia es a través de un diagrama de dispersión o nube de puntos, tal como la siguiente:


Este modelo también es conocido como potencial, Cobb-Douglas de primer grado o exponencial inverso.
2. Ecuación característica
La función que define el modelo es la siguiente:

Yi=A*XBi* E

En la cual:
                        Yi :       Variable dependiente, iésima observación
A, B:   Parámetros de la ecuación, que generalmente son
desconocidos
                        E:        Error asociado al modelo
                        Xi :       Valor de la í-esima observación de la variable
independiente
Al sustituir los parámetros por estimadores, el modelo adopta la siguiente forma:

yi=a*xbi

la ecuación se transforma aplicando logaritmos de ambos lados, con lo cual se convierte a una forma lineal:
Ln yi= Ln a +b*Ln xi

3. Tabla de datos
Para el ajuste de un conjunto de datos al modelo geométrico de regresión, se construye la siguiente tabla de datos:

X
Y
Ln x
Ln y
(ln x)2
(ln y)2
Ln X*ln y







..
..

..
..
..
..
















Σln x
Σln y
Σ(ln x)2
Σ(lny)2

ΣLnx*lny


Debido a las propiedades de los logaritmos, ningún valor de x ni de  y puede ser negativo. En tal caso, lo que se hace es definir un valor de x o de y muy pequeño (Ej: 0.00000001)
Se puede trabajar con logaritmos naturales o logaritmos base 10.

4. Estimadores del modelo
los estimadores para el ajuste del modelo se calculan de la siguiente manera

Será necesario utilizar antilogaritmos para obtener el  valor final de a

5. Análisis de varianza para la regresión
Con el objeto de determinar si el modelo explica o no el fenómeno en estudio, se realiza el análisis de varianza, que se calcula de la siguiente manera


Fuente de Variación
Grados de libertad
Suma de cuadrados
Cuadrado medio
F calculada
F tabulada
Regresión
         1
b* (ΣLnxlny-Σ(Lnx)*Σ(lny)/n)
S.C. Reg/1
C.M.Reg/C.M.Error

Error
      n-2
S.C. Total- S.C. Regresión
S.C. Error/(n-2)


Total
      n-1
Σ(lny)2-(Σlny)2 /n
n-1




Ho: El modelo no explica el fenómeno en estudio
Ha: El modelo sí explica el fenómeno en estudio

  • Para buscar en la tabla la F tabulada, se usan el el numerador los grados de libertad de regresión y en el denominador, de acuerdo al nivel de significancia escogido (los más usuales son al 5% y al 1%)
  • Si el valor de F calculada es mayor que el de F tabulada, se rechaza Ho, en caso contrario se acepta

6. Grado de ajuste del modelo
Para determinar el grado de ajuste del modelo, se calcula el coeficiente de determinación, de la siguiente manera

El valor de r2  tiene un rango entre 0 y 1. No puede obtenerse valores negativos

7. Pruebas de Hipótesis para el modelo

7.1 Para el coeficiente b
Para probar la hipótesis de que el coeficiente b es igual a un valor b´,  ser igual a cero, se procede de la siguiente manera:

i) Se plantea la hipótesis   Ho:b=b´ y la alternativa Ha:  b≠ b´
ii) Se calcula el estadístico :


Sb es conocido como el error standard de b y se calcula de la siguiente manera:
El cuadrado medio del error se obtiene del anàlisis de varianza.

iii) Se busca en la tabla de t de student el valor tabulado para los siguientes datos:
      n-2 grados de libertad y un nivel α/2

iv) Si el valor de t calculado es mayor que el tabulado, se rechaza la Ho, en caso              
     contrario, se acepta .

7.2 Para el coeficiente a
       Se puede probar la hipótesis de que el coeficiente a es igual a un valor a´, para lo
      cual se sigue el siguiente procedimiento:

i)             Se define la hipótesis:  Ho: a=a´ y la alternativa Ha: a≠a´
ii)            Se calcula el error standard para a con la siguiente fórmula:

                        El cuadrado medio del error se obtiene del análisis de varianza
iii)           Se calcula el estadístico de prueba:


iv)           Se obtiene en la tabla de t de student el estadístico comparador, con los siguientes datos: n-2 grados de libertad y nivel α/2
v)            Si el valor de t calculado es mayor que el tabulado, se rechaza la Ho, en caso contrario, la hipótesis se acepta

8. Intervalos de confianza

8.1 Para el coeficiente b
       El intervalo de confianza para el coeficiente b se calcula así:


       El cuadrado medio del error se obtiene del análisis de varianza
       El valor de t se obtiene de la tabla de t de student con n-2 grados de libertad y un
       nivel α/2

8.2 Para el coeficiente a
       El intervalo de confianza para el coeficiente a se calcula así:


       El cuadrado medio del error se obtiene del análisis de varianza
       El valor de t se obtiene de la tabla de t de student con n-2 grados de libertad y un
       nivel α/2


8.3 para la media de y
Un intervalo de confianza para la respuesta media de y, dado x0  sería:


       El cuadrado medio del error se obtiene del análisis de varianza
       El valor de t se obtiene de la tabla de t de student con n-2 grados de libertad y un
       nivel α/2
       El valor de xm  que aparece en la fórmula es el promedio de valores de los logaritmos de  x

8.4 para la estimación de y
El intervalo de confianza para la estimación de y, dado un valor de x0 se obtiene de la siguiente manera:



       El cuadrado medio del error se obtiene del análisis de varianza
       El valor de t se obtiene de la tabla de t de student con n-2 grados de libertad y un
       nivel α/2
       El valor de xm  que aparece en la fórmula es el promedio de valores de x


9. Càlculo de estimadores, coeficiente de determinaciòn y anàlisis de varianza mediante el uso de matrices
Un mètodo alternativo para realizar los càlculos, es el uso de matrices. En este caso, el procedimiento es el siguiente:

i)             formar la matriz x: (matriz de variable independiente), agregando la primera columna formada por unos:
       
1
Ln x1
1
Ln x2
...
.....
1
Ln xn

ii)            Formar el vector de logaritmos de y

Ln y1
Ln y2
.....
Ln yn

iii) Formar la matriz x transpuesta ( x´)

1
1
...
1
Ln x1
Ln x2
...
Ln xn

iv) Calcular el producto matricial x´x
V)  Calcular la inversa del producto [ o sea (x´x)-1]
vi)  Calcular el producto x´y
vii)  Calcular el producto (x´x)-1*(x´y)=b
El resultado de esta operaciòn es el vector de coeficientes de regresiòn (el primero es el logaritmo de a y el segundo es b). El valor de b sale directamente, mientras que el de a está en forma logarìtmica, de modo que para formar la ecuaciòn original se obtiene el  antilogaritmo.
viii)  Para el càlculo del anàlisis de varianza, se tienen las siguientes operaciones
      matriciales:

Fuente de Variación
Grados de libertad
Suma de cuadrados
Cuadrado medio
F calculada
F tabulada
Regresión
         1
b´( x´ )(y)- nym2
S.C. Reg/1
C.M.Reg/C.M.Error
*
Error
      n-2
y´y-b( x´ )(y)
S.C. Error/(n-2)


Total
      n-1
y´y- nym2
n-1



El valor de ym  que aparece en las fórmulas es el promedio de los logaritmos de y

ix) Finalmente, el coeficiente de determinaciòn por  matrices se obtiene de la
      siguiente manera:

r2=  {b´(x´)(y)- nym2}/(y´y- nym2)

10. Por fin un ejemplo!
Se realizó un estudio comparativo del nivel de ruido (en decibeles) producido por discotecas rodantes, se procedió a evaluar diferentes niveles de potencia (en vatios). Los datos finales fueron:

POTENCIA
DECIBELES
100
60
500
80
1000
90
5000
99
10000
120

En base a los datos anteriores:
a)    Construya un diagrama de dispersión
b)    Efectúe la estimaciòn del modelo logarítmico
c)    Determine el grado de ajuste e interprételo
d)    Elabore el análisis de varianza y discútalo
e)    Qué lectura se obtendría con un potencia de 3000 vatios?
f)     Pruebe la hipòtesis que b=1 con un 99% de confianza
g)    Calcule intervalo de confianza al 95% para a y b
h)   Efectùe la estimaciòn del modelo, el andeva y obtenga el coeficiente de determinaciòn por medio de matrices.

a)    Diagrama de Dispersión

El diagrama de dispersión muestra una tendencia logarítmica, pues aunque hay incrementos fuertes de potencia, los niveles de ruido no crecen excesivamente.

b) Estimadores del modelo

i)             Tabla de Datos:

x
y
Ln x
Ln y
(ln x)2
(ln y)2
Lnx*Lny
100
60
4.6052
4.0943
21.2076
16.7637
18.8552
500
80
6.2146
4.3820
38.6214
19.2022
27.2326
1000
90
6.9078
4.4998
47.7171
20.2483
31.0836
5000
99
8.5172
4.5951
72.5426
21.1151
39.1375
10000
120
9.2103
4.7875
84.8304
22.9201
44.0944

SUMAS:
35.4551
22.3588
264.9190
100.2493
160.4033

ii)            Estimadores del modelo

 
c)            Grado de ajuste del modelo
El coeficiente de determinación se calcula así:


Se puede concluir que el grado de ajuste del modelo es alto, por lo que el modelo es confiable para hacer predicciones.

d)            Análisis de varianza del modelo

iii)           Suma de cuadrados del error : 0.2661-0.255= 0.0111
iv)           Grados de libertad de regresion=1
v)            Grados de libertad totales= 5-1=4
vi)           Grados de libertad del error=5-2=3
vii)         Cuadrado medio de regresión= 0.255/1=0.255
viii)        Cuadrado medio del error= 0.0111/3=0.0037
ix)           F Calculada=0.255/0.0037=68.91
x)            F Tabulada (1,3,0.01)= 34.12
xi)           Tabla de Andeva:


Fuente de Variación
Grados de libertad
Suma de cuadrados
Cuadrado medio
F calculada
F tabulada
Regresión
      1
0.2550
 0.255
 68.91 
  34.12*
Error
      4
0.0111
 0.0037


Total
      5
0.2661





Debido a que F calculada es mayor que F tabulada, se rechaza la Ho y se acepta la Ha, con lo cual se concluye que el modelo sì explica el fenòmeno en estudio y que los resultados obtenidos no se deben a la casualidad.

e) Què lectura en decibeles se obtiene al aplicar una potencia de 3,000 vatios?
Para esto, simplemente se utiliza la ecuaciòn anteriormente encontrada por estimaciòn, sustituyendo el valor de x por 3,000

y= 33.164*(3000)0.1374=99.63

se puede aplicar la operaciòn equivalente por medio de los logaritmos de los estimadores:

Ln y= 3.497+0.1374*Ln(3,000)=4.59707


Finalmente, y=e4.59707=99.63

f) Pruebe la hipòtesis de que b=1 con un 99% de confianza
    Inicialmente se plantea Ho:  b=1 y su alterna Ha: b≠1
    A continuaciòn se obtiene el error standard de b:
El valor de t de student de calcula de la siguiente manera: (el logaritmo de 1 es cero)

El valor de t se obtiene en la tabla de t de student, con 5-2=3 grados de libertad y (1-.99)/2=0.005 de α, siendo el valor igual a 5.841

Finalmente, dado que t calculada es mayor que la tabulada, se concluye al 99% que el coeficiente b no es igual a 1.

g) Calcule intervalos de confianza al 95% para a y b 
     El valor de t de student al 95% con 3 grados de libertad es= 3.182
Intervalo de confianza para  b:

El intervalo final será entonces el siguiente:  -0.3892< B< 0.664

Intervalo de confianza para a:

El intervalo final para el logaritmo de a sería: 3.1137< Ln A <3.8803

i)     Ajuste del modelo y análisis de varianza mediante matrices:

Matriz x:                                                                           Matriz x transpuesta ( x´ )   
1
1
1
1
1
4.6052
6.2146
6.9078
8.5172
9.2103
         

Vector y:      4.09430
                     4.3820
                     4.4998
                     4.5595
                     4.7875
                    

Producto x´x: 


5
35.4551
35.4551
264.9191 


Matriz inversa de x´x:

3.9228 
-0.5250
-0.5250
0.07403


Producto x ´ y


22.8231
163.5535 


Producto Final b=(x´x)-1*  (x ´ y)

3.6644 
0.1269 


Análisis de varianza

Suma de cuadrados de regresión= b´x´y- nym2= 0.255
 ym= 22.3588/5=4.47176


Suma de cuadrados total=y´y- nym2=0.2661


   4.09430
                                                                           4.3820
 (4.0943 4.382 4.4998  4.5595  4.7875)   4.4998     -5(4.47176)2= 0.2661
                                                                           4.5595
                                                                           4.7875

Suma de cuadrados del error =: 0.2661-0.255=0.0111
Grados de libertad de regresion=1
Grados de libertad totales= 5-1=4
Grados de libertad del error=5-2=3
Cuadrado medio de regresión= 0.255/1=0.255
Cuadrado medio del error= 0.0111/3=0.0037
F Calculada=0.255/0.0037=68.91
F Tabulada (1,3,0.01)= 34.12

Análisis de  Varianza Final:

Fuente de Variación
Grados de libertad
Suma de cuadrados
Cuadrado medio
F calculada
F tabulada
Regresión
      1
0.255
 0.255
  68.91
 34.12*
Error
      3
0.0111
 0.0037


Total
      4
0.2661





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