CÁLCULO DE EXTREMOS DE FUNCIONES DE TRES VARIABLES EN LAS CALCULADORAS TI VOYAGE Y TI 89

CÁLCULO DE EXTREMOS DE FUNCIONES DE TRES VARIABLES EN LAS CALCULADORAS TI VOYAGE Y TI 89

Introducción:
Debido al enorme éxito obtenido por las calculadoras Texas Instruments Voyage y 89, se hace conveniente mostrar los campos de aplicación donde pueden ser de utilidad.

Aunque la calculadora posee una función para calcular extremos de funciones de una variable, no funciona para dos o más variables. El procedimiento es sencillo, lo cual será ilustrado con un ejemplo.

TECLAS IMPORTANTES PARA USAR EN EL PROCEDIMIENTO

La función de derivada se invoca oprimiento 2nd y 8, y en la pantalla aparece como d(

La función STO> aparece en la pantalla  como ->

El símbolo  para valuar funciones | se activa oprimiendo 2nd  y K

Para indicar datos negativos (no resta), se usa la tecla (-)

El cálculo de extremos de funciones de tres variables, implica un algoritmo donde se realizan las siguientes operaciones:

1.     Calcular las derivadas parciales, respecto a x , y z

2.     Igualar a cero las derivadas parciales y resolver el sistema de ecuaciones, con lo cual se obtienen los valores críticos

3.     Calcular las nueve segundas derivadas parciales (f_xx, f_xy, f_xz,f_yx,f_yy,f_yz,f_zx,f_zy,f_zz)

4.     Valuar las segundas derivadas parciales en cada uno de los puntos críticos

5.     Calcular los tres  Hessianos:

Calculando la determinantes de las matrices formadas así:

La primera : [fxx]

La segunda  [fxx   fxy]

                     [fyx   fyy]

La tercera: 

                   | fxx   fxy   fxz |

                   | fyx   fyy   fyz |

                   | fzx   fzy    fzz |

6.     Aplicar la regla de decisión: 

d    Si todos los determinantes son positivos, es un mínimo local

      Si hay alternancia de signos: negativo-positivo-negativo, es un máximo local

      En cualquier otro caso, no hay información concluyente

EJEMPLO

Dada la función:

Encuentre puntos críticos y determine su naturaleza

1.    Definir la función

define f=-x^3+3*x+2*y^2+4*y*z+3*y+8*z^2

2.    Calcular primeras derivadas parciales

d(f,x) Sto->fx…..-3x²+3

d(f,y) Sto->fy…..4y+4z+3

d(f,z) Sto->fz……4y+16z

3.    Resolver el sistema de ecuaciones 

Solve(fx=0 and fy=0 and fz=0,{x,y,z})

Respuesta:

x = 1, y = (-1), z = 1 / 4 or  x = (-1), y = (-1), z = 1 / 4

Hay dos puntos críticos

4.    Calcular segundas derivadas parciales:

define fxx=d(fx,x)…..-6x

define fxy=d(fx,y)……0

define fxz=d(fx,z)……0

define fyx=d(fy,x)……0

define fyy=d(fy,y)…..4

define fyz=d(y,z)……4

define fzx=d(fz,x)……0

define fzy=d(fz,y)……4

define fzz=d(fz,z)……16

5.    Valuar las segundas derivadas parciales en cada punto si es necesario. Solamente se debe valuar la fxx

Cuando x=1……fxx | x=1 and y=-1 and z=1/4)….-6

Cuando x=-1… fxx | x=-1 and y=-1 and z=1/4)…..6

6.    Análisis para el punto (1,-1,1/4)

Hessianode xx:  [-6] Su determinante es -6

Hessiano de xy: det([[-6,0],[0,4]]..-24

Hessiano xyz: det([[-6,0,0],[0,4,4],[0,4,16]]) ..-288

CONCLUSION: No se sabe si es máximo o mínimo (no es concluyente)

7.    Análisis para el punto (-1,-1,1/4)

Hessianode xx:  [6] Su determinante es 6

Hessiano de xy: det([[6,0],[0,4]])..24

Hessiano xyz: det([[6,0,0],[0,4,4],[0,4,16]])..288

CONCLUSION: es un mínimo!!!!