miércoles, 6 de julio de 2011

Paquete de Graficación Graphmatica

UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS
FACULTAD DE CIENCIAS QUIMICAS Y FARMACIA


CURSO CORTO APLICADO:
PAQUETE GRAPHMATICA



ING. AGR. LUIS MANFREDO REYES
GUATEMALA, SEPTIEMBRE 2005












CONTENIDO:

1.    Introducción
2.    Descripción del Paquete Graphmatica
3.    Entrada al programa
4.    Especificación de ecuaciones
5.    Gràficas de funciones
6.    Gràficas de Secciones Cònicas
7.    Gràficas de forma Polar
8.    Gràficas de Funciones paramètricas
9.    Gràficas de Desigualdades
10.                      Utilerìas del paquete
1. Introducciòn


Una de las actividades docentes màs comunes en la enseñanza de la matemàtica, es sin duda la elaboración de gràficas. El avance de la tecnología y la disponibilidad de equipos de proyecciòn (“cañoneras” o proyectores), permite que en este campo el docente pueda ayudarse con software que le permita de una forma ràpida y eficaz graficar, tanto funciones como relaciones.

En este sentido, el uso del paquete Graphmatica serà de mucha utilidad al docente.
En este curso curso se da énfasis a la parte pràctica, ya que se cuenta con una gran cantidad de ejercicios.


2. Descripción del paquete
El programa Graphmatica fue desarrollado por Keit Hertzner, quien posteriormente fundò la empresa Ksoft. El paquete està dedicado exclusivamente a la parte de gràficas en dos dimensiones. Tiene algunas utilerìas que le permiten encontrar puntos crìticos o integrar entre dos puntos.  El programa puede ser descargado del sitio:

Los tipos de gràficas que se pueden elaborar son:

Funciones de una variable (x,y)
Funciones Polares
Funciones Paramètricas
Secciones Cònicas
Ecuaciones y Desigualdades
Ecuaciones diferenciales ordinarias

Adicionalmente se tienen herramientas para:
Encontrar intersecciones entre curvas
Derivadas
Integrales
Puntos Crìticos de funciones

Una ventaja importante es que, las funciones se pueden ingresar en forma explìcita, implìcita, las ecuaciones pueden ser generales o canònicas. El programa tiene un poderoso mòdulo de interpretación que “entiende” todo tipo de ecuación.

La versión màs reciente del paquete, la 2.0 funciona en las versiones màs avanzadas de Microsoft Windows ® (XP, 2000, Millenium)

3. Ingreso al programa
El programa debe estar instalado en la computadora a usarse.
La secuencia es la siguiente:
INICIO à PROGRAMASà GRAPHMATICA 2.0àGRAPHMATICA
El ambiente de trabajo del paquete es el siguiente:


Las àreas de trabajo del paquete son:
Area de Comandos: contiene los tìpicos comandos de todo programa de Windows ®

 File Edit View Options   Tools        Calculus   Help

Area de Botones: son dibujos para ejecutar ràpidamente tareas usuales:

Area de Ingreso de Ecuaciones: aquì es donde el usuario escribe la ecuación a graficar. La ecuación se puede ingresar en forma explìcita (por ejemplo: y=x^2+4x-6), o bien en forma implìcita (por ejemplo: x^2+y^2=25)

Area de Presentaciòn de resultados: es la zona donde el paquete presenta las gràficas de las ecuaciones que se van ingresando. Se puede visualizar 25 gràficas.
4. Especificación de ecuaciones o inecuaciones
Graphmatica reconoce en una expresiòn los siguientes componentes: Signo de igualdad (ecuación), signos de desigualdad (inecuaciones), variables (x,y,t,r), operadores aritmèticos (+,-+*,/,^), constantes (e,pi)  y funciones (sin,cos, tan, sqrt, etc).

Como es usual en un programa informàtico, la jerarquía operativa es:
  1. Funciones
  2. Paréntesis
  3. Potencias
  4. Producto y cociente
  5. Adiciòn y sustracción

Una caracterìstica importante del paquete, es que permite operaciones implìcitas (por ejemplo: se puede ingresar 3x ò 3*x).

 Graphmatica tiene una biblioteca de funciones bastante grande, siendo las màs importantes:

abs                   valor absoluto
acos, asec        arco coseno y arco secante
asin, acsc         arco seno y arco cosecante
atan, acot         arco tangente, arco cotangente
cos                  coseno
cosh                 coseno hiperbòlico
cot                   cotangente (1/tan x)
csc                   cosecante (1/sin x)
exp                  antilogaritmo natural ( e elevado a x)
int                    parte entera
ln, log              logaritmo natural, logaritmo base 10
rand                 nùmero pseudo-aleatorio
sin                   seno
sinh                 seno hiperbòlico
sec                   secante (1/cos x)
sqrt (sqr)          raìz cuadrada
tan                   tangente
tanh                 tangente hiperbòlica

5. Gràficas de Funciones

Grafique las siguientes funciones:
Una lìnea recta:   y=3x+2
Una paràbola: y=-3x2+2x-4
Una paràbola horizontal:  x=y2+4
La funciòn coseno entre 0 y 2π : y=cos x {0,2p}
La funciòn tangente entre -1.5π y 0.5 π : y=tan x {-1.5p, -.5p}

6.    Gràficas de Secciones Cònicas
Grafique las siguientes secciones cònicas:
Una circunferencia de radio 5 y centro en el origen: x2+y2=25
Una circunferencia con centro en (2,3) y radio 4:  (x-2)2+(y-3)2=16
La elipse: x2+y2=1
                36  9
La hipèrbola: xy=1
La elipse rotada: 9x2+25y2+18x+50y+10xy=191
La hipèrbola: 9y2-64x2+90y-128x=415

7.    Gràficas de funciones en forma Polar
La variable t representa el àngulo Θ

Una espiral de arquìmides: r=2Θ
una lemniscata de Bernoulli: r2=32 cos 2 Θ de menos pi a cero (se ingresa asì: r^2 = 32 cos (2t) {-1p, 0}  )

Una cardioide: r=4[1+cos(Θ )]
Un limacòn:  r=2[1+2cos(Θ )]
Un rosa de cuatro pètalos: r = 4sin(2 Θ )

8.    Gràficas de Funciones Paramètricas:
Para especificar una funciòn paramètrica, se utilizan tres variables: x,y,t. Se debe ingresar en el siguiente orden:

Primero la funciòn de x en tèrminos de t,, seguida por punto y coma, luego la funciòn de y en tèrminos de t y finalmente el dominio de la variable t
Ejemplo:
x = 2t          ;  y = 2t^2 {-10, 10}

9. Gràficas de desigualdades:
Se utilizan los operadores >,<, >=,<=

y >= (x+5)^2
y > (x+3)^2 + 1
x^2 + (y-1)^2 < 4
xy > 4
y < x -6

10 Utilerìas del paquete:
Graphmatica tiene varias utilerìas que pueden ser de ayuda

10.1  Intersecciòn de dos gràficas: el paquete puede encontrar la intersecciòn de dos gràficas. Para ello es necesario que se hayan ingresado y graficado previamente. El programa usa el mètodo de Newton, por lo cual es necesario que las ecuaciones sean diferenciables.

                   Ejemplo: x2+y2=5, y=x+3
Se ingresa asì: Tools-> Find Intersection
En la ventana que aparece se selecciona la ecuación 1 la ecuación 2 y se oprime el botòn Calculate. Los resultados aparecen en la ventana inferior

10.2  Integrar
Graphmatica puede integrar entre dos lìmites, por ejemplo cuando se calcula el àrea bajo la gràfica de una ecuación.
Al seleccionar Calculus -> Integrate, el cursor cambia a la forma de una cruz. Entonces debe ser posicionado sobre el punto deseado de la curva (lìmite inferior). Se hace clic sin soltar el botòn, y se arrastra hasta el otro extremo. La regiòn queda marcada y mostrarà el resultado numèrico en una ventana. Tambièn en esta ventana es posible corregir los lìmites, ya que en modo gràfico puede haber alguna inexactitud en señalarlo.

Se puede escoger entre varios mètodos de integración, siendo el predefinido el trapezoidal. Para cambiar de mètodo, se selecciona:
Options -> Settings -> Integration


Ejemplo: calcule el àrea bajo la gràfica de y=-2x2+4x-1 entre -1 y 1




10.3  Recta Tangente
Graphmatica puede dibujar la recta tangente a la gràfica de una funciòn en un punto. Para ello, en el menú Calculus se selecciona Draw  Tangent
Se debe ubicar el cursor sobre el punto deseado y dar clic. A veces es necesario rectificar el valor de x o y en la ventana de resultados. Luego se oprime el botòn Calculate
Ejemplo: Encuentre la tangente a x2+y2=25 en x=3



10.4  Puntos Crìticos de una funciòn
Graphmatica puede localizar extremos (mìnimo, màximo) y ceros de funciones. Debido a que se usa el mètodo de Newton en este proceso, es necesario que las funciones sean diferenciables doblemente. Para seleccionar esta opciòn se procede asì:
Calculus -> Find Critical Points

Aparecen una ventana en la que se puede escoger la ecuación a trabajar y en la ventana inferior los resultados (Mìnimos, màximos, ceros).
Ejemplo: Encuentre los extremos y ceros de y=x3+4x2-x







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