domingo, 3 de julio de 2011

MÉTODOS NUMÉRICOS CON MICROSOFT EXCEL(R)

UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS
FACULTAD DE AGRONOMIA

CURSO CORTO SOBRE: “ MÉTODOS NUMÉRICOS CON EXCEL ®
Ing. Agr. Luis Manfredo Reyes Chávez

DESCARGAR HOJA DE CALCULO CON LOS MÉTODOS IMPLEMENTADOS:
METODOS NUMÉRICOS CON EXCEL

DESCARGAR MÓDULO DE CÁLCULO DE RAÍCES DE POLINOMIOS CON EXCEL
modulo para raíces de polinomios en Excel
DESCRIPCION:
El presente curso está orientado a profesores y ayudantes de cátedra dedicados a la enseñanza de la matemática. El curso tiene aplicación en casos en los cuales, la solución analítica a un problema de índole matemática, o bien es demasiado compleja, o no existe solución algebraica específica.

NIVEL DEL CURSO: Introductorio

CONOCIMIENTOS PREVIOS: Se requiere que los participantes tengan conocimiento de los siguientes temas: Algebra, Cálculo, Microsoft Windows, Microsoft Excel.

CONTENIDO
  1. Introducción: Desarrollo histórico del A.N. Definiciones básicas. Solución analítica, solución heurística, solución numérica. Precisión, exactitud, cifras significativas. Definición de fórmulas en lenguaje de Excel.

  1. Métodos para solución de ecuaciones de una incógnita: Bisección, Newton, Secante, Ejemplos y ejercicios.

  1. Método para encontrar raíces de polinomios. Complemento de Excel.

  1. Métodos para resolver sistemas lineales: Eliminación gaussiana, , Método de Gauss-Seidel, ,  Método de Determinantes, Método de Matrices

  1. Método para invertir matrices

  1. Métodos para resolver integrales definidas: Trapecio, Simpson.

  1. Métodos para resolver ecuaciones diferenciales: Euler, Runge Kutta y Adams.

  1. Métodos para interpolación: LaGrange, mínimos cuadrados.

DURACION: 10 horas




CURSO DE MÉTODOS NUMÉRICOS CON EXCEL®


INTRODUCCIÓN:
El análisis numérico, aunque históricamente ha sido utilizado desde el principio de la civilización, solamente alcanzó un nivel de desarrollo suficiente en el siglo anterior, debido fundamentalmente a la aparición y desarrollo de las computadoras, como herramienta de apoyo. Básicamente, se puede definir el análisis numérico como “un conjunto de métodos que permiten resolver problemas de cálculo aritmético utilizando aproximaciones numéricas sucesivas hasta llegar a un nivel de exactitud deseable”.

En ejemplo típico de aplicación de análisis numérico sería el siguiente:


“A una función de circo asistieron 120 personas. El total de lo recaudado fue de Q120.00. Si los niños pagaron Q 0.10, las mujeres Q 2.00 y los hombres Q 5.00 por la entrada, cuántos niños, mujeres y adultos asistieron a la función?.

Si se intenta resolver análiticamente el problema, rápidamente se cae a la siguiente estrategia:

Sea x el número de niños, y el numero de mujeres, y finalmente z el número de hombres

Entonces:   x+y+z=120  y por otra parte: 0.1x+2y+5z=120

Sin embargo, se tiene el problema de que existen tres incógnitas y solamente 2 ecuaciones. Por lo tanto el problema es subdeterminado y no existe solución analítica.

Otro ejemplo sería el siguiente:


Un número está formado por cinco dígitos no repetidos: abcde. Si el número se multiplica por 4, se obtiene otro número edcba. Cuál es el número?

No es posible establecer una solución analítica a este problema. Aunque es posible realizar un razonamiento teórico, se debe intentar con varios números hasta finalmente lograr el resultado deseado.

Comparado con el procedimiento analítico, el análisis numérico ofrece las siguientes ventajas:

1)    No se requiere de manipulaciones algebraicas (simplificaciones, sustituciones, factorización, etc).
2)    Se puede partir de algún valor inicial para aproximarse posteriormente a una solución final.
3)    Si se dispone de equipo de cómputo, la solución se obtiene en forma rápida y suficientemente exacta.

Algunos autores consideran, sin embargo, que tiene algunas desventajas, siendo las más importantes:

1)    El proceso de aproximaciones, aunque es simple es tedioso en el sentido de que hay que repetir muchos cálculos numéricos.
2)    La rapidez con que se llega al resultado inicial muchas veces depende de la aproximación inicial que se elija
3)    En algunos casos, la aproximación a la respuesta final no llega (No hay solución).

El aparecimiento de las computadoras electrónicas implicó un salto gigantesco para el desarrollo del análisis numérico, pues la rapidez de ejecución de los cálculos permitió reducir los tiempos en forma tremenda.

Por ejemplo, cuando el Apollo 13 tuvo problemas y debió regresar a tierra, las computadoras de la NASA tardaron 65 minutos en realizar todos los cálculos necesarios. Un hombre con una calculadora de mano hubiera tardado mil años en realizar los mismos cálculos, y un hombre con solo papel y lápiz hubiera tardado 10 mil años en realizar el mismo proceso (suponiendo que no cometiera errores de operación).

DEFINICIONES BASICAS:

Solución analítica: Un problema se resuelve planteando un modelo matemático (ecuación), y por medio de sustituciones, simplificaciones y operaciones algebraicas se logra aislar (despejar) una solución deseada.

Solución heurística: Se prueba sucesivamente con diversos valores, hasta lograr uno que cumpla con las condiciones del problema (prueba y error)

Solución numérica: Se plantea un valor inicial que resuelva el problema y el mismo es refinado sucesivamente hasta lograr una respuesta satisfactoria

Precisión: desde el punto de vista del A.N., se define como la capacidad de representar un valor o número lo más apropiadamente posible. Por ejemplo, el numero π se podría representar con los siguientes tipos de precisión:
3.14
3.141
3.1416
3.14159
etc.

Las computadoras, debido a su estructura binaria de operación tienen dificultad para representar algunos valores, siendo usualmente 15 dígitos el máximo permisible.

Exactitud: Se refiere a la distancia existente entre un valor y el valor verdadero que éste tiene o debería tener

Por ejemplo: la operación  (1/3) *3 en algunas calculadoras produce como resultado 0.999999, mientras que por principio de cancelación el valor verdadero es 1.

Tolerancia: Se define como el máximo valor permisible de la diferencia entre una aproximación a la solución y el valor anterior. La tolerancia se puede definir en términos absolutos ( xn- xn-1) o bien en términos relativos: ( xn- xn-1)/ xn

Convergencia: Se define en análisis numérico como la aproximación a una solución, dentro de un tolerancia especificada.  Cuando una solución inicial se refina hasta un valor final, se dice que “el problema converge”, mientras que si no, se dice que “el problema no converge”.

Ejemplo: La ecuación  x3-x-1=0 tiene un cero real entre 1 y 2. Utilizando un proceso de refinación, se converge a una solución de la siguiente manera:


x
f(x)
1
-1
1.1
-0.769
1.2
-0.472
1.3
-0.103
1.31
-0.061909
1.32
-0.020032
1.321
-0.015800839
1.322
-0.011561752
1.323
-0.007314733
1.324
-0.003059776
1.3241
-0.002633843
1.3242
-0.002207832
1.3243
-0.00178174
1.3244
-0.001355569
1.3245
-0.000929319
1.3246
-0.000502989
1.3247
-7.65798E-05
1.3248
0.000349909

El cambio de signo en el último dato indica que el cero está entre 1.3247 y 1.3248.

ENFOQUE ALGORITMICO DEL ANALISIS NUMERICO


Debido a que en la actualidad la disponibilidad de computadoras es tan grande, aunque lamentablemente han caído al triste papel de “máquinas de escribir”, el análisis numérico se puede enfocar bajo este concepto.

Un algoritmo no es más que un conjunto ordenado de reglas que permite alcanzar la solución a un problema de cualquier tipo. Una forma simple de definir el algoritmo, es como “una receta” para resolver problemas. La definición es aplicable a cualquier tipo de problema, pero obviamente en este caso será aplicado a la solución de problemas de índole matemática.
Aunque en la actualidad es considerado como obsoleto, existe un procedimiento gráfico llamado “diagrama de flujo”, que también se puede utilizar como una alternativa al uso del algoritmo.
En el desarrollo de este curso, para cada uno de los métodos que se discutan, se planteará el algoritmo respectivo. 

PRINCIPALES METODOS NUMERICOS PARA SOLUCION DE PROBLEMAS
1.    Solución de ecuaciones de una variable, sin usar derivadas
·         Método de Bisección
·         Regla falsa (Reguli falsi)
·         Punto Fijo
·         Secante

2.    Solución de ecuaciones de una variable con uso de derivadas
·         Método de Newton
3.    Solución de ecuaciones polinomiales con ceros reales o complejos
·         Método de Muller
4.    Solución de sistemas de ecuaciones
·         Eliminación de Gauss
·         Método Gauss-Seidel
·         Método Gauss con pivoteo
·         Método de determinantes
·         Método de matrices
5.    Cálculo de integrales definidas
·         Método del trapecio
·         Método de Simpson
·         Método de Sumas de Reimann
·         Método de cuadratura de Gauss
·         Método de Romberg
6.    Métodos para resolver ecuaciones diferenciales
·         Método de Euler
·         Método de Runge-Kutta

CODIFICACION DE FORMULAS EN EXCEL

Excel reconoce los siguientes tipos de datos: numéricos, texto, fecha, lógicos

Operadores: EXCEL  reconoce los siguientes:
Adición:         +
Sustracción:              -
Producto:      *
Cociente:      /
Potencia:       ^
Paréntesis:   ( )
Funciones: son operaciones matemáticas específicas. Se escribe el nombre de la función y los argumentos más importantes entre paréntesis. Las más importantes son:
raiz (25)  Raiz cuadrada (no acepta valores negativos)
EXP(1.4)   Antilogaritmo natural. Los valores pueden ser positivos o negativos
LN(15.444) Logaritmo natural. El número no puede ser negativo.
Conversión de fórmulas a LENGUAJE EXCEL
En microsoft excel la unidad básica de información es la celda, que puede contener datos numéricos, texto o datos lógicos. Se puede referenciar, es decir se puede incluir en una fórmula el nombre de la celda, que en Excel está formado por una letra (columna) y un número (fila)

Toda la operación debe aparecer en una sola línea. Se puede usar paréntesis para aclarar el orden de las operaciones. No se permiten operaciones implícitas (por ejemplo el producto A por B se indica A*B y no AB)



METODO DE LA SECANTE

Este método pretende reducir la cantidad de iteraciones necesarias para lograr la convergencia de la solución. Se basa en el hecho de que el método de bisección siempre utiliza la mitad del intervalo, pero no toma en cuenta que la solución puede estar más cerca de uno de los valores (x0 o x1). Para ello, se traza una línea entre  f(x0) y f(x1) y se calcula el x2 como el punto en que la línea intersecta al eje x. (ver gráfica)

El nuevo valor de x2 se calcula así:
ALGORITMO DEL METODO DE LA SECANTE:
1. Pedir los datos de entrada: aproximaciones iniciales P0, P1, tolerancia T y número máximo de iteraciones N0
2. Definir:  i=2;   q0=f(p0);  q1=f(p1)
3. Mientras que I<=N0 seguir los pasos 4-7
        4. Calcular p=p1-q1*(p1-p0)/(q1-q0)
        5. Si |p-p1|<=T entonces presentar resultado (p) y fin del proceso, si no:
6       i=i+1
   7  Calcular:  p0=p1; q0=q1; p1=p; q1=f(p)
1.        Mensaje de error “El método fracasó despues de N0 iteraciones”
2.        Fin.

IMPLEMENTACION DEL ALGORITMO:

Si se aplica el método a una ecuación comparando con el de bisección, se observará que se necesitan menos iteraciones para obtener la solución final.

Ejemplo:
Resuelva la ecuación x5+x-1=0


RESUELVA LA ECUACION:  x5+X-1=0
TOLERANCIA=
0.00001
ITERACION
X
(FX)
MENOR A TOL
0
0
-1
TODAVIA NO
1
1
1
TODAVIA NO
2
0.5
-0.46875
TODAVIA NO
3
0.65957447
-0.21559547
TODAVIA NO
4
0.79547381
0.11398846
TODAVIA NO
5
0.74847225
-0.01663017
TODAVIA NO
6
0.75445642
-0.00110441
TODAVIA NO
7
0.7548821
1.1631E-05
TODAVIA NO
8
0.75487766
-8.0344E-09
SOLUCION
9
0.75487767
-5.8398E-14
SOLUCION
10
0.75487767
0
SOLUCION
11
0.75487767
0
SOLUCION
12
#¡DIV/0!
#¡DIV/0!
#¡DIV/0!
13
#¡DIV/0!
#¡DIV/0!
#¡DIV/0!
14
#¡DIV/0!
#¡DIV/0!
#¡DIV/0!
15
#¡DIV/0!
#¡DIV/0!
#¡DIV/0!
16
#¡DIV/0!
#¡DIV/0!
#¡DIV/0!
17
#¡DIV/0!
#¡DIV/0!
#¡DIV/0!
18
#¡DIV/0!
#¡DIV/0!
#¡DIV/0!
19
#¡DIV/0!
#¡DIV/0!
#¡DIV/0!
20
#¡DIV/0!
#¡DIV/0!
#¡DIV/0!


En forma comparativa, el método de bisección necesita 21 iteraciones para llegar a la solución. Ell mensaje de error de division por cero indica que se ha alcanzado la solución, no debe preocupar al usuario

VENTAJAS:
·         Converge más rápidamente que bisección
·         No necesita derivadas para el cálculo de aproximaciones (comparado con el método de Newton)


DESVENTAJAS:
·               En ocasiones, aunque existe la solución, el método no converge

METODO DE NEWTON

Este método, también llamado Newton-Raphson, es considerado como el método más rápido, es decir que converge en menos iteraciones, comparado con los demás.

Partiendo de una aproximación inicial, las siguientes aproximaciones se calculan de la siguiente manera:
VENTAJAS:
·         Es un método más rápido que los otros métodos
·         Generalmente converge independientemente de la aproximación inicial que se escoge.

DESVENTAJAS:
·         Es necesario conocer la derivada de la función, la cual a veces es difícil de obtener
·         Si la derivada de la función toma un valor cercano a cero, el método puede no converger
·         Cuando hay raíces múltiples (polinomios), el método a veces falla.

ALGORITMO DEL METODO DE NEWTON:
1. Pedir datos iniciales: Aproximación inicial p0, tolerancia (T), número máximo de iteraciones (N0)
2. Definir i=1
3. Mientras que i<=N0, seguir los pasos 4-7
      4. Calcular p=p0-f(p0)/f´(p0)
      5. Si |p-p0| <=T entonces presentar resultado final p y fin; si no:
6.    Calcular i=i+1
  1. Calcular p0=p
8. Presentar mensaje de error “El método fracasó en N0 interaciones” y Fin

EJEMPLO:
Resuelva la ecuación x5+x-1=0


RESUELVA LA ECUACION:  x5+X-1=0
TOLERANCIA=
0.00001
ITERACION
X
(FX)
F'(X)
MENOR A TOL
0
1
-1
6
TODAVIA NO
1
1.16666667
2.3280607
10.2631173
TODAVIA NO
2
0.93982909
0.67306614
4.9009064
TODAVIA NO
3
0.80249405
0.13531382
3.07365877
TODAVIA NO
4
0.75847036
0.00948153
2.65471975
TODAVIA NO
5
0.75489878
5.5398E-05
2.62377145
TODAVIA NO
6
0.75487767
1.9177E-09
2.62358979
SOLUCION
7
0.75487767
0
2.62358979
SOLUCION
8
0.75487767
0
2.62358979
SOLUCION
9
0.75487767
0
2.62358979
SOLUCION



METODO DE BISECCION:
El método de bisección es el método más simple para resolver ecuaciones de una variable. Se inicia el procedimiento cuando se localiza un cambio de signo de una función f(x) entre dos valores x1 y x2. El intervalo sucesivamente se divide en dos y se evalúa la ecuación hasta obtener un f(x)=0 o bien un valor que satisfaga una tolerancia preestablecida.

VENTAJAS:
·   Es un método muy simple y por lo tanto fácil de implementar
·         Si la solución existe, el método la encontrará

DESVENTAJAS:
·         El método es lento, es decir que se necesitan a veces muchas iteraciones para lograr encontrar la solución, especialmente si los extremos están muy separados

ALGORITMO:
1. Pedir los datos básicos: Tolerancia (T), límite inferior (a), límite superior (b), número de iteraciones que se permite (N).
2. Definir i=1
3. Mientras que i<=N, repetir pasos 4 al 7
     4. Calcular  p=a+(b-a)/2
     5. Si f(p)=0 o (b-a)/2>T entonces mostrar solución p y terminar
6.Calcular i=i+1
2.    Si f(a)*f(p)>0 entonces a=p, si no b=p
3.    Mostrar mensaje “El método no converge”  y Fin del proceso

Ejemplo : Resuelva la ecuación  x3-x-1=0. Esta ecuación de acuerdo al teorema fundamental del álgebra tiene 3 raíces y según la regla de signos de Descartes solamente una raíz real.

Aplicando valuación se encuentran los puntos de cambio de signo,o bien división sintética, se obtiene que la ecuación tiene un cero entre 1 y 2. Se construye la siguiente tabla de datos:

RESUELVA LA ECUACION:  x3-x-1+0=0
TOLERANCIA=
0.00001
PASO 1: DETECTAR CAMBIO DE SIGNO
PASO 2: ITERACIONES PARA ENCONTRAR LA SOLUCIÓN
-10
-991
LIMITE INFERIOR
LIMITE SUPERIOR
PUNTO MEDIO
F(PUNTO MEDIO)
MENOR A TOL
-9
-721
1
1
2
1.5
0.875
TODAVIA NO
-8
-505
2
1
1.5
1.25
-0.296875
TODAVIA NO
-7
-337
3
1.25
1.5
1.375
0.22460938
TODAVIA NO
-6
-211
4
1.25
1.375
1.3125
-0.05151367
TODAVIA NO
-5
-121
5
1.3125
1.375
1.34375
0.08261108
TODAVIA NO
-4
-61
6
1.3125
1.34375
1.328125
0.01457596
TODAVIA NO
-3
-25
7
1.3125
1.328125
1.3203125
-0.01871061
TODAVIA NO
-2
-7
8
1.3203125
1.328125
1.32421875
-0.00212795
TODAVIA NO
-1
-1
9
1.32421875
1.328125
1.32617188
0.00620883
TODAVIA NO
0
-1
10
1.32421875
1.32617188
1.32519531
0.00203665
TODAVIA NO
1
-1
11
1.32421875
1.32519531
1.32470703
-4.6595E-05
TODAVIA NO
2
5
12
1.32470703
1.32519531
1.32495117
0.00099479
TODAVIA NO
3
23
13
1.32470703
1.32495117
1.3248291
0.00047404
TODAVIA NO
4
59
14
1.32470703
1.3248291
1.32476807
0.00021371
TODAVIA NO
5
119
15
1.32470703
1.32476807
1.32473755
8.3552E-05
TODAVIA NO
6
209
16
1.32470703
1.32473755
1.32472229
1.8478E-05
TODAVIA NO
7
335
17
1.32470703
1.32472229
1.32471466
-1.4059E-05
TODAVIA NO
8
503
18
1.32471466
1.32472229
1.32471848
2.2095E-06
TODAVIA NO
9
719
19
1.32471466
1.32471848
1.32471657
-5.9246E-06
SOLUCION
10
989
20
1.32471657
1.32471848
1.32471752
-1.8576E-06
SOLUCION



La solución final es x=1.322471848. Dependiendo de la tolerancia que se establezca, se puede tomar un solución con menos iteraciones.

RAÍCES DE POLINOMIOS
Los polinomios son estructuras que tienen propiedades interesantes desde el punto de vista de sus raíces: algunas pueden ser reales y otras complejas. Encontrar la solución de un polinomio puede implicar la aplicación de álgebra compleja, en caso de existir raíces imaginarias. Algunos autores se han dedicado a fabricar complementos para resolver polinomios, como el que se presenta en el siguiente curso.

Se debe hacer doble click sobre el nombre del complemento, y se abre una ventana donde se debe ingresar la ecuación a resolver.
Ejemplo: resuelva x5+3x4-x3+2x2+6x-2




MÉTODOS PARA SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES

Un sistema lineal, es un conjunto de n ecuaciones de la forma general:


            a11x1+a12x2+a13x3+.......a1nxn=b1
a21x1+a22x2+a23x3+.......a2nxn=b2
a31x1+a32x2+a33x3+.......a3nxn=b3
.........
.........
an1x1+an2x2+an3x3+.......annxn=bn

donde los valores de a son los coeficientes , las x son las incógnitas y las b son los términos independientes

La resolución del sistema consiste en encontrar el conjunto de valores de x1,x2....xn.. Para ello existen métodos analíticos, entre los que se mencionan: Sustitución, Igualación y Suma y Resta. Sin embargo, desde el punto de vista del análisis numérico, interesan más los métodos numéricos. Los métodos más importantes se discuten a continuación:

ELIMINACION GAUSSIANA
Para obtener la solución de un sistema lineal como el anterior, en este método se aplica una serie de operaciones, llamadas operaciones de renglón, siendo las siguientes:
1)    multiplicar toda la fila por una constante distinta de cero
2)    sumar o restar un múltiplo de una ecuación a otra
3)    intercambiar de posición dos ecuaciones.

Para facilitar el proceso, se forma una matriz, llamada matriz aumentada que contiene solamente los coeficientes de las ecuaciones.

Al final del proceso, el sistema se reduce a una forma triangular, donde la última ecuación tiene la solución de la última incógnita. Posteriormente, se aplica un proceso se sustitución hacia atrás para ir encontrando progresivamente los valores de las otras incógnitas.

Este procedimiento se ilustra con el siguiente ejemplo:
2x1+x2+3x3=11
4x1+3x2+10x3=28
2x1+4x2+17x3=31

Inicialmente, se forma la matriz aumentada:


                        2          1          3          |           11
                        4          3          10       |           28
                        2          4          17       |           31

Para eliminar x1 de la segunda ecuación, se multiplica la primera por 2 y se resta a la segunda. Para eliminar x1 de la tercera, solamente se resta la primera a la tercera:

                        2          1          3          |           11
                        0          1          4          |           6
                        0          3          14       |           20

Para eliminar x2 de la tercera ecuación, se multiplica la segunda por 3 y se le resta:

                        2          1          3          |           11
                        0          1          4          |           6
                        0          0          2          |           2

Ya se tiene la primera solución: x3=2/2=1
Ahora se procede a realizar sustitución hacia atrás
                         x2+(4*1)=6
                         x2+4=6
                         x2=2
y finalmente:
                 2x1+(1*2)+(3*1)=11
                        2x1+2+3=11
                        2x1+5=11
                        2x1=6
                        x1=3

La solución del sistema, es el conjunto {3,2,1}

Ventajas del método:
  • Es muy fácil de realizar
  • No se requiere de manipulaciones algebraicas
  • Si la solución existe, el procedimiento la encontrará

Desventajas:
  • Se necesita una gran cantidad de operaciones, especialmente multiplicaciones y divisiones: (n3+3n2+n)/3, donde n es el número de incógnitas

METODO DE GAUSS-SEIDEL

Es un método iterativo, en el sentido de que se parte de una solución inicial y sucesivamente se va refinando hasta converger a una solución final, si es que existe.

Lo que se hace en éste método, es establecer una nueva aproximación de un valor xi usando la siguiente expresión:


Para tratar de acelerar el proceso de iteraciones, se puede usar un factor llamado factor de relajación, que permite converger a la solución en menos tiempo. Aunque no hay criterios certeros acerca de este factor, usualmente es un valor que está entre 1 y 3. Dependiendo del factor que se escoge, el método puede converger más rápidamente o más lentamente.

Ejemplo: resuelva:
5x-2y+z=3
-x-7y+3z=-2
2x-y+8z=1


Paso 1: Despejar una variable de cada ecuación
x=(3+2y-z)/5
y=(x-3z-2)/-7
z=(1-2x+y)/8
Paso 2: definir valores iniciales para cada incógnita
x1=0
y1=0
lo m{as usado es cero pero puede ser cualquier valor
z1=0
reemplazar en cada ecuación los valores hallados
x=(3+2*0-0)/5=0,6
y=(0,6-3*0-2)/-7=0,2
z=(1-2*0,6+0,2)/8=0
repetir los cálculos usando los nuevos valores de x,y,z hasta que se logre la tolerancia deseada



N
xn
ym
zn
0
0
0
0
1
0.6
0.2
3.469E-18
2
0.68
0.1885714
-0.0214286
3
0.6797143
0.1794286
-0.0225
4
0.6762714
0.1794612
-0.0216352
5
0.6761115
0.1798547
-0.021546
6
0.6762511
0.179873
-0.0215787
7
0.6762649
0.179857
-0.0215841
8
0.6762596
0.1798554
-0.021583
9
0.6762588
0.179856
-0.0215827
10
0.676259
0.1798561
-0.0215827


INVERSA DE UNA MATRIZ

En varios procesos se requiere del cálculo de la inversa de una función. Aunque Microsoft Excel contiene una función que calcula directamente la inversa de una fución (MINVERSA), el procedimiento más común para calcular una inversa es la eliminación gaussiana.

Se inicia planteando una matriz aumentada donde están los coeficientes de la matriz en el lado izquierdo y del lado derecho los coeficientes de una matriz identidad, y por medio de operaciones de fila se transforma la matriz hasta que del lado izquierdo queda una matriz identidad.

EJEMPLO:
Invierta la matriz:


INVERSA DE UNA MATRIZ POR ELIMINACION
1
10
1
!
1
0
0
2
0
1
!
0
1
0
3
3
2
!
0
0
1
1
10
1
!
1
0
0
0
-20
-1
!
-2
1
0
0
-27
-1
!
-3
0
1
1
10
1
!
1
0
0
0
1
0.05
!
0.1
-0.05
0
0
-27
-1
!
-3
0
1
1
10
1
!
1
0
0
0
1
0.05
!
0.1
-0.05
0
0
0
0.35
!
-0.3
-1.35
1
1
0
0.5
!
0
0.5
0
0
1
0.05
!
0.1
-0.05
0
0
0
0.35
!
-0.3
-1.35
1
1
0
0.5
!
0
0.5
0
0
1
0.05
!
0.1
-0.05
0
0
0
1
!
-0.85714286
-3.85714286
2.85714286
1
0
0
!
0.42857143
2.42857143
-1.42857143
0
1
0
!
0.14285714
0.14285714
-0.14285714
0
0
1
!
-0.85714286
-3.85714286
2.85714286


METODOS PARA RESOLVER INTEGRALES

Muchas veces, el desarrollo de una integral se puede volver un proceso bastante complicado. Por ejemplo: la integral

Requiere de un proceso de integración bastante laborioso. Por otra parte, algunas integrales simplemente no tienen función primitiva. Se necesita por lo tanto una alternativa que permita evaluar una integral definida sin el tormento del proceso (“Integrar sin integración!!”)

METODO DE INTEGRACION POR LA REGLA DEL TRAPECIO

Debe recordarse que la forma más simple de interpretar una integral definida es como el área bajo la gráfica de la función. 
Una estrategia para encontrar el área total sería el de calcular áreas de trapecios dentro del intervalo de integración y luego sumar las áreas para dar lugar al área total
El área total bajo la gráfica de la función entonces será:

Donde: Δx= (b-a)/n  y  xi=a+iΔx   y n es el número de sub-intervalos en los que se divide el intervalo.

Debe notarse que, mientras más subintervalos se definen, el cálculo será más exacto, pero al mismo tiempo también será más engorroso.
Ejemplo:

Utilice la regla del trapecio con n=5 para calcular:



 Δx=(2-1)/5= 0.2

El resultado exacto de esta operación es: Ln 2=0.693147....
IMPLEMENTACION DEL MÉTODO

b
3
a
1
n=
10
h=
0.2
i
x
f(x)
0
1
0.5
1
1.2
0.83333333
2
1.4
0.71428571
3
1.6
0.625
4
1.8
0.55555556
5
2
0.5
6
2.2
0.45454545
7
2.4
0.41666667
8
2.6
0.38461538
9
2.8
0.35714286
10
3
0.33333333
5.6744783
integral=
1.13489566



METODO DE SIMPSON:
Este método fue dado a conocer por Thomas Simpson (Si bien ya era conocido antes ), por ésta razón es que recibe ese nombre.

Es una alternativa al método del trapecio que pretende aumentar la exactitud del cálculo, para lo cual en lugar de trapecios, se utilizan segmentos de parábolas. El número de subintervalos en que se divide el intervalo de integración debe ser un número par.  Debido a que la ecuación de una parábola vertical es de la forma y=Ax2+BX+C, es posible calcular el área para ese subintervalo integrando directamente. Posteriormente se suman las áreas de cada subintervalo para obtener el intervalo total.

En este método, el área total que se obtiene se calcula así:


Los coeficientes que multiplican a las f(x) son: 1,4,2,4,2.....2,4,1 ; el valor de
Δx= (b-a)/n  y  xi=a+iΔx y n es un número par.

Ejemplo: utilice el método de Simpson con n=10 para calcular la siguiente integral:

Δx=(2-1)/10= 0.1
El valor exacto de la integral es: Ln 2= 0.693147....

En general se puede decir que la aproximación que se obtiene con éste método es mejor que con el trapecio.


b
3
a
1
n=
10
h=
0.2
i
c
x
c*f(x)
0
1
1
1
1
4
1.2
3.33333333
2
2
1.4
1.42857143
3
4
1.6
2.5
4
2
1.8
1.11111111
5
4
2
2
6
2
2.2
0.90909091
7
4
2.4
1.66666667
8
2
2.6
0.76923077
9
4
2.8
1.42857143
10
1
3
0.33333333
16.479909
integral=
1.0986606



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