ANÁLISIS DE REGRESIÓN LINEAL, GEOMÉTRICA, LOGARÍTMICA Y CUADRÁTICA EN SAS®

  ANÁLISIS DE REGRESIÓN LINEAL, GEOMÉTRICA, LOGARÍTMICA Y CUADRÁTICA EN SAS®

Ing. Luis Manfredo Reyes

El análisis de regresión es una técnica estadística que trata de encontrar un modelo matemático que explique los cambios en una variable (dependiente) en función de otra u otras (independiente o independientes).

Aunque el modelo más enseñado y más utilizado es el lineal (y=a+bx), hay muchas situaciones donde éste modelo no se adapta bien a los datos, surgiendo la necesidad de probar otros modelos.

Afortunadamente, la tecnología disponible actualmente permite el ajuste de muchos modelos con los mismos datos. En ésta ocasión se discute el uso de SAS  para el ajuste.

El software SAS (Statistical Analisys System) ha sido considerado como el más potente para análisis estadístico, pero siempre tuvo el gran inconveniente de su elevado costo (se paga una licencia anual).

Afortunadamente, en una decisión sorpresiva pero agradable, el CEO de SAS decidió liberar el software para uso de estudiantes, profesores e investigadores (más información de cómo obtener el software aquí: http://reyesestadistica.blogspot.com/2015/06/milagro-sas-libera-version-gratuita.html

Se asume que el lector ya instaló el software y conoce su uso básico.

Estudio de caso:

Se tienen los registros de población de una comunidad a partir de su fundación (tiempo cero):

AÑO	POBLACION
0	200
25	425
50	950
70	2200
100	5000

1.       Creación del archivo de datos

Para el modelo lineal se ingresan los datos tal y como están originalmente

La variable independiente es el año (x) y la dependiente la población (y)

Para el modelo geométrico se calcula una nueva columna con los datos del logaritmo de la población (ly)
OJO, ÉSTE DATO NO PUEDE VALER CERO, PORQUE EL LOGARITMO DE CERO NO EXISTE, EN SU LUGAR SE USA UN VALOR MUY PEQUEÑO POR EJEMPLO  0.000001)

Para el modelo logarítmico se calculan dos  nuevas columnas, la primera con el logaritmo de la población (ly) y otra con los datos del logaritmo del año (lx). 
OJO, ÉSTOS DOS DATOS NO PUEDEN  VALER  CERO, PORQUE EL LOGARITMO DE CERO NO EXISTE, EN SU LUGAR SE USA UN VALOR MUY PEQUEÑO POR EJEMPLO  0.000001)

Para el modelo cuadrático se calcula una nueva columna con los datos del año al cuadrado. Los datos pueden quedar en cualquier orden de columnas.

SAS puede leer datos de varias formas y puede importar datos de otros programas, pero por ser pocos datos, se recomienda el ingreso manual:

En la ventana EDITOR se ingresan los siguientes datos:

Data regre;

Input x  y ;

x2=x*x;

ly=log(y);

lx=log(x+0.00001);

Cards;

0 200

25 425

50 950

70 2200

100 5000

Run;

La función log de SAS calcula logaritmos naturales

Se especifica el modelo lineal:
title "Regresión lineal";
proc reg;
model y=x;
run;

Se especifica el modelo geométrico:
title "Modelo geométrico";
proc reg;
model ly=x;
run;
Se especifica el modelo logarítmico
title "Modelo logaritmico";
proc reg;
model ly=lx;
run;
Se especifica el modelo cuadrático:
title "Modelo cuadrático";
proc reg;
model y=x x2;
run;
Todas las instrucciones se ingresan en la ventana EDITOR, luego se va a la pestana RUN y se escoge la opción SUBMIT.
Los resultados obtenidos en la ventana OUTPUT son:
Modelo lineal                                            egresión lineal

Procedimiento REG

Modelo: MODEL1

Variable dependiente: y

Número de observaciones leídas	5
Número de observaciones usadas	5

Análisis de la varianza
Fuente	DF	Suma de cuadrados	Cuadrado de la media	F-Valor	Pr > F
Modelo	1	13224024	13224024	16.96	0.0259
Error	3	2338976	779659
Total corregido	4	15563000

Raíz MSE	882.98289	R-cuadrado	0.8497
Media dependiente	1755.00000	R-Sq Ajust	0.7996
Coef Var	50.31242

Estimadores de parámetros
Variable	DF	Estimador del parámetro	Error estándar	Valor t	Pr > |t|
Intercept	1	-541.56977	683.29253	-0.79	0.4859
x	1	46.86877	11.38031	4.12	0.0259

La información más importante es: el coeficiente de determinación (0.849) y la significancia del modelo (0.0259) que por ser menor a 0.05 indica que el modelo sí es significativo al 5% de significancia. Estos datos se deben comparar con los de los otros modelos para escoger el mejor.

Modelo geométrico

Modelo geométrico

Procedimiento REG

Modelo: MODEL1

Variable dependiente: ly

Número de observaciones leídas	5
Número de observaciones usadas	5

Análisis de la varianza
Fuente	DF	Suma de cuadrados	Cuadrado de la media	F-Valor	Pr > F
Modelo	1	6.51138	6.51138	854.68	<.0001
Error	3	0.02286	0.00762
Total corregido	4	6.53423

Raíz MSE	0.08728	R-cuadrado	0.9965
Media dependiente	6.88405	R-Sq Ajust	0.9953
Coef Var	1.26791

Estimadores de parámetros
Variable	DF	Estimador del parámetro	Error estándar	Valor t	Pr > |t|
Intercept	1	5.27254	0.06754	78.06	<.0001
x	1	0.03289	0.00112	29.23	<.0001

El grado de ajuste es de 0.99 y el modelo es significativo al 1%

Ojo: el modelo queda así: Ln y  =5.27254+0.03289 x

Para convertirlo a su forma exponencial, se operan los antilogaritmos de 5.27254  y 0.03289, el modelo sería:

Y= 194.9104*1.0334^X

Modelo logarítmico

Modelo logaritmico

Procedimiento REG

Modelo: MODEL1

Variable dependiente: ly

Número de observaciones leídas	5
Número de observaciones usadas	5

Análisis de la varianza
Fuente	DF	Suma de cuadrados	Cuadrado de la media	F-Valor	Pr > F
Modelo	1	3.61384	3.61384	3.71	0.1496
Error	3	2.92039	0.97346
Total corregido	4	6.53423

Raíz MSE	0.98664	R-cuadrado	0.5531
Media dependiente	6.88405	R-Sq Ajust	0.4041
Coef Var	14.33229

Estimadores de parámetros
Variable	DF	Estimador del parámetro	Error estándar	Valor t	Pr > |t|
Intercept	1	6.76183	0.44578	15.17	0.0006
lx	1	0.13667	0.07093	1.93	0.1496

El modelo queda así: Ln y=6.76183+0.13667*Ln x

Puede verse que el coeficiente de determinación es muy bajo y el modelo no es significativo (porque el p es mayor que 0.05), por lo que debe ser desechado

Modelo cuadrático

Modelo cuadrático

Procedimiento REG

Modelo: MODEL1

Variable dependiente: y

Número de observaciones leídas	5
Número de observaciones usadas	5

Análisis de la varianza
Fuente	DF	Suma de cuadrados	Cuadrado de la media	F-Valor	Pr > F
Modelo	2	15520836	7760418	368.10	0.0027
Error	2	42164	21082
Total corregido	4	15563000

Raíz MSE	145.19707	R-cuadrado	0.9973
Media dependiente	1755.00000	R-Sq Ajust	0.9946
Coef Var	8.27334

Estimadores de parámetros
Variable	DF	Estimador del parámetro	Error estándar	Valor t	Pr > |t|
Intercept	1	265.85261	136.41409	1.95	0.1906
x	1	-15.94644	6.30235	-2.53	0.1271
x2	1	0.62983	0.06034	10.44	0.0091

---

El grado de ajuste es muy bueno (0.9973) y el modelo es significativo.
la ecuación final es y=265.85261-15.94644x+0.62983x^2

Como hay dos modelos que tienen casi e mismo r cuadrado, el criterio que se aplica es seleccionar el que sea matemáticamente más simple, es decir el cuadrático