ÁLGEBRA LINEAL CON GEOGEBRA

ÁLGEBRA LINEAL  CON GEOGEBRA

Ing. Luis Manfredo Reyes

GeoGebra es un software matemático. Fue creado con la idea de ser usado  para la educación en colegios y universidades. Fue creado por Markus Hohenwarter, en el año 2001 en la Universidad de Salzburgo, luego en la Universidad de Atlantic, Florida, luego en la Universidad Estatal de Florida y actualmente , en la Universidad de Linz, Austria.

GeoGebra está escrito en Java y por tanto es posible usarlo en diferentes plataformas.

El software tiene dos partes importantes: un procesador geométrico y un procesador algebraico.

GeoGebra permite el trazado de construcciones geométricas de todo tipo así como la representación gráfica, el tratamiento algebraico y el cálculo de funciones reales de variable real, sus derivadas, integrales, etc.

DISPONIBILIDAD:

El software puede ser descargado sin costo del sitio: www.geogebra.org 

Existen versiones para: Windows, Linux, MacIntosh, Android e Ios.

Existen algunas diferencias entre las versiones, pero la mayoría de aspectos son iguales.

La última versión disponible es la 5.

En éste artículo se muestran aplicaciones del Geogebra en el tema del álgebra, lineal.  partiendo de ejemplos clásicos de cualquier curso de álgebra lineal

Se asume que el usuario tiene instalado el programa y conoce el uso básico del mismo

DESDE LA VISTA ALGEBRAICA

1. Creación de matrices y vectores

El formato que Geogebra usa para definir vectores y matrices, es el mismo usado por otros paquetes matemáticos

Por ejemplo, para crear ésta matriz 3 x 3:

En Geogebra se ingresa lo siguiente:

a={{1,2,3},{4,5,6},{7,8,9}}

el resultado es almacenado como un objeto llamado “a”, que puede utilizarse para otros cálculos.

Para crear un vector fila: b={{4,5,6}}

Para crear un vector columna c={{4},{5},{6}}

DESDE LA VISTA HOJA DE CÁLCULO

Es posible crear matrices y vectores desde la vista de hoja de cálculo
se ingresan los datos en a forma usual:

Se selecciona el rango de datos de la forma  usual.
Luego, se da click sobre el ícono {1,2} y se escoge matriz

Aparece una ventana donde pregunta el nombre de la matriz, si los objetos son dependientes y si se transponen los datos. Luego se oprime e botón crear.

En la vista algebraica aparece un objeto con el nombre solicitado 

Operaciones comunes:

Un escalar por una matriz:

a={{1,2,3},{4,5,6},{7,8,9}} o se crea en a vista de hoja de cálculo

a*5

Adición (suma) y sustracción de matrices:

Para que éstas operaciónes  sean válidas, las matrices deben tener las mismas dimensiones

La operación se puede realizar directamente, o bien almacenar las matrices en objetos

a={{2,-1,-2},{0,4,1},{-3,3,5}} o se crea en a vista de hoja de cálculo

b={{-3,0,1},{4,3,3},{0,0,4}}  o se crea en a vista de hoja de cálculo

a+b

a-b

PRODUCTO DE MATRICES:

Es necesario cumplir con la condición de conformabilidad: el número de columnas de la primera matriz debe ser igual al número de filas de la segunda matriz.

Ejemplo: con las mismas matrices a y b efectúe: a x b

 a*b

DETERMINANTE DE UNA MATRIZ

Esta operación solamente se puede aplicar a matrices cuadradas (n x n)

Con las mismas matrices a y b

Determinante[a]

Determinante[b]

INVERSA DE UNA MATRIZ

Esta operación solamente se puede aplicar a matrices cuadradas (n x n)

Con las mismas matrices a y b

Inversa[a]

Inversa[b]

TRASPOSICIÓN DE MATRICES:

Las filas se convierten en columnas y las columnas en filas

Traspone[a]

Traspone[b]

PRODUCTO ESCALAR (PRODUCTO PUNTO O COMBINACIÓN LINEAL)

ProductoEscalar[(1, 3, 2), (0, 3, -2)]

PRODUCTO CRUZ

ProductoVectorial[{1, 3, 2}, {0, 3, -2}]





SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES DE ECUACIONES:

Formar la matriz de coeficientes:

a={{1,1,-2},{2,-4,1},{0,2,-3}}

Formar el vector de términos independientes:

{{1},{0},{-1}} Geogebra lo llama matriz1

Invertir la matriz de coeficientes:

c=Inversa[a]

Multiplicar por el vector de términos independientes

c*matriz1… El resultado se almacena en matriz2