CÁLCULO DE EXTREMOS DE FUNCIONES DE TRES VARIABLES CON MATHEMATICA

CÁLCULO DE EXTREMOS DE FUNCIONES DE TRES VARIABLES CON MATHEMATICA

Ing. Luis Manfredo Reyes

Siendo el paquete computacional Mathematica ® (un producto de Wolfram Research) uno de los más importantes en el campo de la computación aplicada a la matemática, no es de extrañar que contenga utilidades para la resolución de expresiones y operaciones de cálculo diferencial de una o varias variables.

En este documento se analizan los casos más importantes de cálculo de extremos de funciones de tres variables. aplicando el paquete. Sin embargo, se debe tomar en cuenta que, éste software no es un sustituto del estudio ni de la resolución manual. Es solamente una herramienta de apoyo.

MATHEMATICA ES UN SOFTWARE COMERCIAL, POR LO QUE TIENE UN COSTO (Y ELEVADO POR CIERTO). No se recomienda el uso "pirata" del mismo.

El cálculo de extremos de funciones de tres variables, implica un algoritmo donde se realizan las siguientes operaciones:

1.     
Calcular las derivadas parciales, respecto a x , y z

2.     Igualar a cero las derivadas parciales y resolver el sistema de ecuaciones, con lo cual se obtienen los valores críticos

3.     Calcular las nueve segundas derivadas parciales (f_xx, f_xy, f_xz,f_yx,f_yy,f_yz,f_zx,f_zy,f_zz)

4.     Valuar las segundas derivadas parciales en cada uno de los puntos críticos

5.     Calcular los tres  Hessianos:

Calculando la determinantes de las matrices formadas así:

La primera : [fxx]

La segunda  [fxx   fxy]

                     [fyx   fyy]

La tercera: 

                   | fxx   fxy   fxz |

                   | fyx   fyy   fyz |

                   | fzx   fzy    fzz |

6.     Aplicar la regla de decisión: 

d    Si todos los determinantes son positivos, es un mínimo local

      Si hay alternancia de signos: negativo-positivo-negativo, es un máximo local

      En cualquier otro caso, no hay información concluyente

EJEMPLO

Dada la función:

Determine puntos críticos y evalué su naturaleza

1.    Definir la función

f[x,y,z]:=-x^3+3*x+2*y^2+4*y*z+3*y+8*z^2  shift + enter

2.    Calcular primeras derivadas parciales
     Teclado                                             resultado

D[fx[x,y,z],x] shift+enter …..-3x²+3

D[f[x,y,z],y]  shift+enter …..4y+4z+3

D[f[x,y,z],z]  shift+enter……4y+16z

3.    Resolver el sistema de ecuaciones 

Solve[-3x²+3==0,4y+4z+3==0,4y+16z==0],{x,y,z})

Respuesta:

[[x = 1, y = (-1), z = 1 / 4], [x = (-1), y = (-1), z = 1 / 4]]

Hay dos puntos críticos

4.    Calcular segundas derivadas parciales: En todos los casos la
     instrucción finaliza con shift+enter

D[-3*x^2+3,x]…..-6x  ...... sólo esta derivada es una función

D[-3*x^2+3,y]……0

D[-3*x^2+3,z]……0

D[4*y+4*z+3,x]……0

D[4*y+4*z+3,y]…..4

D[4*y+4*z+3,z]……4

D[4*y+16*z,x].……0

D[4*y+16*z,y]……4

D[4*y+16*z,z].........6

5.    Valuar las segundas derivadas parciales en cada punto si es necesario. Solamente se debe valuar la fxx

Cuando x=1……-6*1.............-6

Cuando x=-1…  6*1 ..............+6

6.    Análisis para el punto (1,-1,1/4)

Hessiano de xx:  [-6] Su determinante es -6

Hessiano de xy: Det[{-6,0},{0,4}]..-24

Hessiano xyz: Det[{-6,0,0},{0,4,4},{0,4,16}]..-288

CONCLUSION: No se sabe si es máximo o mínimo (no es concluyente)

7.    Análisis para el punto (-1,-1,1/4)

Hessiano de xx:  [6] Su determinante es 6

Hessiano de xy: Det{6,0},{0,4}]......24

Hessiano xyz: Det[{6,0,0},{0,4,4},{0,4,16}]..288

CONCLUSION: es un mínimo!!!!