CÁLCULO DE EXTREMOS DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES CON MATHEMATICA

CÁLCULO DE EXTREMOS DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES CON MATHEMATICA

Ing. Luis Manfredo Reyes

INTRODUCCION

Siendo el paquete computacional Mathematica ® (un producto de Wolfram Research) uno de los más importantes en el campo de la computación aplicada a la matemática, no es de extrañar que contenga utilidades para la resolución de expresiones y operaciones de cálculo diferencial.

En este documento se analizan los casos más importantes de cálculo de extremos de funciones de dos variables ., aplicando el paquete. Sin embargo, se debe tomar en cuenta que, éste software no es un sustituto del estudio ni de la resolución manual. Es solamente una herramienta de apoyo.

MATHEMATICA ES UN SOFTWARE COMERCIAL, POR LO QUE TIENE UN COSTO (Y ELEVADO POR CIERTO). No se recomienda el uso "pirata" del mismo.

El cálculo de extremos de funciones de dos variables, implica un algoritmo donde se realizan las siguientes operaciones:

1.     Calcular las derivadas parciales, respecto a x y a y

2.     Igualar a cero las derivadas parciales y resolver el sistema de ecuaciones, con lo cual se obtienen los valores críticos

3.     Calcular las segundas derivadas parciales (f_xx, f_yy y _fxy)

4.     Valuar las segundas derivadas parciales en cada uno de los puntos críticos

5.     Calcular el Hessiano: f_xx*f_yy-f_xy²

6.     Aplicar la regla de decisión: Hessiano negativo: punto de silla, Hessiano positivo y f_xx positivo: mínimo, Hessiano positivo y f_xx negativo: máximo

    

EJEMPLO

Dada la función: f(x,y)= 2x⁴+y²-x²-2y

Encuentre valores críticos

Calcule extremos y determine su naturaleza

Paso 1:  definir la función:   En el área de entrada escribir:
f[x,y]:= 2*x^4+y^2-x^2-2*y  shift+ enter

Paso 2:  calcular derivadas parciales, respecto a x, y respecto a y

             Teclado                                                          Resultado

             D[f[x,y],x]   shift + enter ……………8x³-2x

             D[f[x,y],y]    shift  +enter …..……….2y-2

Paso 3: Calcular valores críticos

                Solve[8*x^3-2*x==0 && 2*y-2==0, {x,y}]  shift+enter
{(-1/2,1), (1/2,1), (0,1)……. 

Paso 4: Calcular segundas derivadas parciales

D[8*x^3-2*x,x]   shift+ enter …………………24x²-2

D[2*y-2,y]   shift   enter ………………..2

D[8*x^3-2*x,y]  shift + enter  ……………….0

Paso 5: Valuar la f_xx y el Hessiano para el punto (-1/2,1). 

                            24*(-1/2)^2-2………shift + enter………………………-8

                            4*2-0^2   shift + enter…  8

                            ES UN MÍNIMO

Paso 6: Valuar la f_xx y el Hessiano para el punto (1/2,1)                                               

                             24*(1/2)^2-2………shift + enter………………………4

                            4*2-0^2   shift + enter…  8

                            ES UN MÍNIMO                          
                          

Paso 7: Valuar la f_xx y el Hessiano para el punto (0,1)

                            24*(0)^2-2………shift + enter………………………-2

                            4*-2-0^2   shift + enter…  -8

                            ES UN MÍNIMO                          

                            ES UN PUNTO DE SILLA