SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE UNA VARIABLE POR EL MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON EN EXCEL

SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE UNA VARIABLE POR EL MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON  EN EXCEL

Ing. Luis Manfredo Reyes

En aquellos casos en que no es posible o no es práctico encontrar la solución de una ecuación de una variable por métodos analíticos, se recurre a los métodos numéricos.

Existen excelentes libros que abordan el tema, en especial el de Burden y Faires. El objetivo del presente documento es mostrar la resolución de una ecuación utilizando Microsoft Excel.

METODO DE NEWTON

Este método, también llamado Newton-Raphson, es considerado como el método más rápido, es decir que converge en menos iteraciones, comparado con los demás.

Partiendo de una aproximación inicial, las siguientes aproximaciones se calculan de la siguiente manera:

VENTAJAS:

·         Es un método más rápido que los otros métodos

·         Generalmente converge independientemente de la aproximación inicial que se escoge.

DESVENTAJAS:

·         Es necesario conocer la derivada de la función, la cual a veces es difícil de obtener

·         Si la derivada de la función toma un valor cercano a cero, el método puede no converger

·         Cuando hay raíces múltiples (polinomios), el método a veces falla.

ALGORITMO DEL METODO DE NEWTON:

1. Pedir datos iniciales: Aproximación inicial p₀, tolerancia (T), número máximo de iteraciones (N₀)

2. Definir i=1

3. Mientras que i<=N₀, seguir los pasos 4-7

      4. Calcular p=p₀-f(p₀)/f´(p₀)

      5. Si |p-p₀| <=T entonces presentar resultado final p y fin; si no:

6.    Calcular i=i+1

1. Calcular p₀=p

8. Presentar mensaje de error “El método fracasó en N₀ interaciones” y Fin

El método se implementa en una hoja de Excel en el siguiente enlace:

https://www.mediafire.com/?jewzaorndyoaw44

EJEMPLO:

Resuelva la ecuación x⁵+x-1=0

La tolerancia se ingresa en F7, usualmente es 0.00001 o cualquier otro valor 

la ecuación se codifica en Excel en la columna C10, usando en lugar de x B10

+B10^5+B10-1

y se copia en toda la columna C

la derivada se codifica en Excel en la columna D10, usando en lugar de x B10

+5*x^4+1 y se copia en toda la columna D

RESUELVA LA ECUACION:  x5+X-1=0				TOLERANCIA=	0.00001
ITERACION	X	(FX)	F'(X)	MENOR A TOL
0	1	-1	6	TODAVIA NO
1	1.16666667	2.3280607	10.2631173	TODAVIA NO
2	0.93982909	0.67306614	4.9009064	TODAVIA NO
3	0.80249405	0.13531382	3.07365877	TODAVIA NO
4	0.75847036	0.00948153	2.65471975	TODAVIA NO
5	0.75489878	5.5398E-05	2.62377145	TODAVIA NO
6	0.75487767	1.9177E-09	2.62358979	SOLUCION
7	0.75487767	0	2.62358979	SOLUCION
8	0.75487767	0	2.62358979	SOLUCION
9	0.75487767	0	2.62358979	SOLUCION

La solución fue encontrada en sólo 6 iteraciones. En comparación, el método de bisección necesita 21 y el método de la secante 8