Ing. Luis Manfredo Reyes
En aquellos casos en que no es posible o no es práctico encontrar la solución de una ecuación de una variable por métodos analíticos, se recurre a los métodos numéricos.
Existen excelentes libros que abordan el tema, en especial el de Burden y Faires. El objetivo del presente documento es mostrar la resolución de una ecuación utilizando Microsoft Excel.
METODO DE BISECCION:
El método de
bisección es el método más simple para resolver ecuaciones de una variable. Se
inicia el procedimiento cuando se localiza un cambio de signo de una función
f(x) entre dos valores x1 y x2. El intervalo sucesivamente se
divide en dos y se evalúa la ecuación hasta obtener un f(x)=0 o bien un valor
que satisfaga una tolerancia preestablecida.
VENTAJAS:
· Es
un método muy simple y por lo tanto fácil de implementar
·
Si la solución existe, el método la encontrará
DESVENTAJAS:
·
El método es lento, es decir que se necesitan a veces
muchas iteraciones para lograr encontrar la solución, especialmente si los
extremos están muy separados
ALGORITMO:
1. Pedir los
datos básicos: Tolerancia (T), límite inferior (a), límite superior (b), número
de iteraciones que se permite (N).
2. Definir i=1
3. Mientras
que i<=N, repetir pasos 4 al 7
4. Calcular p=a+(b-a)/2
5. Si f(p)=0 o (b-a)/2>T entonces
mostrar solución p y terminar
6.Calcular
i=i+1
2. Si
f(a)*f(p)>0 entonces a=p, si no b=p
3. Mostrar
mensaje “El método no converge” y Fin
del proceso
Ejemplo :
Resuelva la ecuación x3-x-1=0. Esta
ecuación de acuerdo al teorema fundamental del álgebra tiene 3 raíces y según
la regla de signos de Descartes solamente una raíz real.
La solución completa se encuentra en una hoja de excel en el siguiente enlace:
Se inicia el proceso encontrando un cambio de signo. Generalmente la solución se encuentra cerca de cero, por lo que se acostumbra probar con valores entre -10 y 10
se especifica la ecuación en la columna B11, usando la forma usual de excel de ingresar fórmulas, pero en lugar de x se escribe A11
es decir +A11^3-A11-1 y ENTER
el resultado se copia en todo el rango:
El cambio de signo ocurre entre 1 y 2 por lo que se concluye que la solución se encuentra entre ésos dos valores.
el valor de la tolerancia deseade se ingresa en la celda F7, lo más usado es una millonésima (0.000001, pero se puede usar cualquier otro valor)
Ahora se ingresan los límites inferior y superior en la otra sección de la hoja.
en la celda H11 se ingresa nuevamente la fórmula de Excel para la ecuación, pero en lugar de x se escribe G11, es decir. +G11^3-G11-1. Este valor se copia en el resto de la columna.
Excel realiza los cálculos y cuando la solución tiene la suficiente tolerancia, presenta el mensaje que ya encontró la solución:
Conclusión: la solución de la ecuación es: 1.32471657 (el punto medio de la fila donde aparece solución por primera vez), con una tolerancia de 0.00001
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