VISUALIZACIÓN Y CÁLCULO DE ÁREAS BAJO LA GRÁFICAS DE FUNCIONES USANDO WINPLOT

VISUALIZACIÓN Y CÁLCULO DE ÁREAS BAJO LA GRÁFICAS  DE FUNCIONES  USANDO WINPLOT

Ing. Luis Manfredo Reyes

La primera de las aplicaciones de la integral  que se enseña en los cursos de cálculo , es la de calcular el área bajo la gráfica de funciones (incorrectamente llamada “área bajo la  curva”). 

Para ello es necesario realizar las gráficas de las funciones, determinar los límites de integración y luego “armar” la integral que representa el área.

Aunque existen muchas opciones para realizar gráficas, por su facilidad de uso y su condición de software libre, se recomienda el uso del Winplot.

Winplot es un programa de graficación en 2 y 3 dimensiones, de uso gratuito, escrito por el doctor Richard Parris, y está disponible en http://www.math.exeter.edu/rparris

—   Características:

—  Grafica: funciones explícitas, funciones implícitas, ecuaciones paramétricas,  ecuaciones polares en 2 y 3d

—  Calcula áreas bajo y entre curvas

—  Calcula longitudes de arco

—  Calcule volúmenes de sólidos de revolución

USO DE WINPLOT :

Reglas para especificar funciones:

—  Operadores aritméticos: +, -, *, / ^, ( )

—  Jerarquía de operación:

Es la usual en ambientes computacionales: (  ), ^, * y /, + y –

El producto y el cociente tienen la misma jerarquía y se ejecutan en orden de izquierda a derecha

La adición y la sustracción tienen la misma jerarquía y se ejecutan en orden de izquierda a derecha

—  Funciones especiales:

Exponencial: exp(  ), Raíz cuadrada:  sqrt ( ), Logaritmo natural: Ln( )

Seno, coseno y tangente:  sin (), cos(), tan( ) el ángulo debe especificarse EN RADIANES

Ejemplos: x³+2x²-3x+1à3*x^3+2*x^2-3*x+1

Aunque no es recomendable, Winplot acepta expresiones implícitas (Ej: ab=a*b)

—  Ambiente de trabajo:

Selección de cuántas dimensiones van a usarse (2 ó 3)

GRAFICAS DE FUNCIONES Y CÁLCULO DEL ÁREA

Seleccionar 2 Dim

Aparece un plano cartesiano

Para ingresar la ecuación se da click en la pestaña ECUA

Ingresar la ecuación en forma explícita  . Si es necesario, se debe acomodar la ecuación para ponerla en la forma y=f(x)

MÉTODO 1: Ingresar en UNA , luego Integración y después Area de sector
se debe especificar el inicio y el final (límites de integración)

Al dar click en el botón area= presenta el resultado

Método 2: En la pestaña Una, seleccionar integración y luego integrar f(x) dx

Se especifica el inicio del arco, el final y el número de divisiones para el cálculo y se da click en el botón área=

Método 2: En la pestaña Dos, seleccionar integración y luego Integrar f(x) dx

Se debe especificar los límites y el método de cálculo deseado
Es posible calcular el resultado con todos los métodos para comparar

Ejemplos:

Calcule el área bajo la gráfica de y= -x²+1, entre x=-1 , x=1 y el eje x

SOMBREADO DEL ÁREA DESEADA EN LA GRÁFICA

Para visualizar el área, se procede así:

En ECUA ingresar la ecuación y=0 (eje x)--> f(x) = 0

Ingresar a ECUA y luego sombreado

Definir "entre"

Arriba la ecuación de la función

Abajo la ecuación del eje x

Marcar intervalo x y luego ingresar los límites

Oprimir el botón sombrear

Y el resultado es:

Otro Ejemplo:

Calcule el área limitada por x=y², el eje x y x=3
Esta es una parábola horizontal con vértice en el origen

Es necesario convertir la ecuación a la forma y= f(x): y=x^1/2  o y=sqrt(x)

Y la gráfica ya sombreada es: